Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

A diszkrét £ valószínűségi változó eloszlását általában a lehetséges értékeivel és ezek bekövetkezési valószínűségeivel adjuk meg. Legyenek a é, lehetséges értékei xi, X2,x„,... (véges számú érték is lehet), és ezek bekövetkezési valószínűségei Pi, Pi, ■•;Pn, ... • Könnyen belátható, hogy így megadtuk a é, eloszlását, hiszen a {£ = xi}, {£ = x2},..., {£ = *„},... események teljes eseményrendszert (1. 3.2.1) alkotnak (bármely két különböző esemény kizárja egymást, és a £ valamelyik lehetséges értékét biztosan felveszi), továbbá teljesülnek a valószínűség axiómái. Ekkor a valószínűség axiómái és a valószínűségek közötti összefüggések felhasználásával a £-vel kapcsolatos események valószínűsége meghatározható.

Például kockadobás esetén £ lehetséges értékei: 1, 2, 3, 4, 5, 6; és a £, minden lehetséges

értékét - valószínűséggel veszi fel. A valószínű- 6

ségeloszlást a 4. ábra szemlélteti.

£ = k, k= 1, 2, 3, 4, 5, 6;

6 k

4. ábra

Pk = P(£ = k) = -.

o

A folytonos valószínűségi változó eloszlását a valószínűségi változó eloszlásfüggvényével vagy a sűrűségfüggvényével adjuk meg. Az eloszlásfüggvény diszkrét valószínűségi változóra is értelmezett.

Ha egyszerre több valószínűségi változót tekintünk, akkor mindegyik valószínűségi változó egy-egy eloszlást létesít a valós számok halmazán. Ha például két kockával dobunk egymás után, és t, az első, rj pedig a második dobás pontszáma, akkor mind a £, mind az rj egy-egy eloszlást létesít a valós számok halmazán. Ha a (£, tj) változópárt tekintjük, akkor a biztos esemény valószínűsége - a (£, rj) lehetséges értékein - az (1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (6, 5), (6,6) rendezett számpárokon oszlik el.

Ha egy (összetett) kísérlettel kapcsolatban a (£, rj) valószínűségi változó párt (valószínűségi vektorváltozót) vezetjük be, akkor a változópár lehetséges értékei rendezett számpárok, a biztos esemény valószínűsége ezeken a számpárokon „oszlik el”. Azt mondjuk, hogy a két valószínűségi változó együttesen, azaz a valószínűségi vektorváltozó a rendezett számpárok halmazán létesít egy eloszlást. Az ilyen eloszlást kétdimenziós valószínűségeloszlásnak nevezzük. Mivel a (£, rj) lehetséges értékeit a számsíkon ábrázolhatjuk, ezért azt is mondhatjuk, hogy a valószínűségi változó pár a síkon létesít egy eloszlást.

Két valószínűségi változó együttes eloszlásának mechanikai megfelelőjét úgy kapjuk, ha egy sík (lehet egy síkidom is) mentén - diszkrét pontokban vagy folytonosan - összesen egységnyi tömeget oszlatunk el.

Ha egy (összetett) kísérlettel kapcsolatban a £1, £2,..., valószínűségi változókat vezetjük be, akkor egy eseményt a kísérlettel kapcsolatos elemi eseményekhez rendelt rendezett szám-«-esek halmazával adunk meg. Az esemény bekövetkezése azt jelenti, hogy a kapott rendezett szám-n-es ebbe a halmazba esik; a biztos esemény pedig az, hogy a ^ = (£1, £2,..., £„) valószínűségi vektorváltozó valamelyik lehetséges értékét

44