Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői
(rendezett szám-«-es) felveszi. A biztos esemény valószínűsége így a lehetséges szám-n- eseken „oszlik el”. Azt mondjuk, hogy az n darab valószínűségi változó együttesen, azaz a valószínűségi vektorváltozó a rendezett szám-n-esek halmazán egy eloszlást létesít. Mivel az n elemű valószínűségi vektorváltozó lehetséges értékeit az n dimenziós térben „ábrázolhatjuk”, ezért azt is mondhatjuk, hogy a valószínűségi vektorváltozó az n dimenziós térben létesít egy valószínűségeloszlást. Ezt «-dimenziós valószínűségeloszlásnak nevezzük. A több valószínűségi változó együttes eloszlásának megadási módjai közül a továbbiakban az együttes eloszlásfüggvénnyel, valamint folytonos eloszlás esetén az együttes sűrűségfüggvénnyel foglalkozunk. 4.2.1 Az eloszlásfüggvény A) Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye A gyakorlatban ritkán kell azt meghatároznunk, hogy a valószínűségi változó egy adott értéket milyen valószínűséggel vesz fel. A kérdés inkább úgy vetődik fel, hogy mi a valószínűsége annak, hogy például az n elemű mintában a selejt darabszáma egy bizonyos értéket nem halad meg, vagy hogy a Duna vízállása bizonyos értékek közé esik, ill. az izzólámpa egy bizonyos időn túl is világít. Ekkor a következő valószínűségeket kell meghatároznunk: P(^k) (ä, a selejt darabszáma), P(a^^b) (£ a Duna vízállásának mérőszáma), P{ó, > á) (£ az izzólámpa élettartamának mérőszáma). Az ilyen kérdésekre könnyen válaszolhatunk, ha a szóban forgó £ valószínűségi változó esetén tetszőleges valós x értékre ismerjük a P(£<x) valószínűséget. A P{£<x) valószínűség (konkrét £ esetén) az x-től függ. Definíció. Egy £ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük azt a függvényt, amely minden valós x értékhez hozzárendeli annak valószínűségét, hogy a £ valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel; azaz Vx e R esetén F(x) = P(£ < x). Figyeljünk arra, hogy a £ valószínűségi változó, azaz függvény, és lehetséges értékei azok, amelyeket az elemi eseményekhez hozzárendeltünk; x viszont bármely valós szám, azaz funkcionális változó. Ha például a {£<*} lehetetlen esemény, akkor F(x) = P(0) = 0. Ha a {^< x} biztos esemény, akkor F(x) = P{Q) = 1. A kockadobás esetén (<!; = 1, 2, 3, 4, 5, 6), ha x ^ 1, akkor F(x) = 0; ha x > 6, akkor F{x) = 1; és pl. az F{6) = P(£< 6) = |. o A valószínűségeloszlásnál ismertetett mechanikai analógiát felhasználva azt mondhatjuk, hogy - a £, valószínűségeloszlásának megfelelő tömegeloszlás esetén - F(x) a 45
