Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

II. rész. Matematikai statisztika - 12. Korreláció- és regresszióelmélet

Képezzük most az

>7l — fi — Ű12^2 — Ö13Í3 — ~ölnfn ~ ~— £ ^uf;

«11 j=l

ún. maradékot, amelyet tehát úgy nyerünk, hogy £1 értékéből levonjuk a lineáris közelítés értékét. Könnyen beláthatjuk, hogy t]i korrelálatlan a £2, f3, ^változókkal, viszont £i-gyel pozitívan korrelált. Ugyanis

M(tu, &) = M(//!, 6)- Z «f/Afííj.fi) = — Z Situ

i= 1 öli 1=1

ha / = 1,

ha 1 # 1.

(Itt |B| a B kovarianciamátrix determinánsát jelöli.) Minthogy a £1, |2, f« változók mindegyikének várható értéke zérus, a várható érték tulajdonságai (4.3.1 4. és 2. tétele) alapján következik, hogy — 0.

Megjegyezzük, hogy abból a tényből, hogy a B kovarianciamátrix szimmetrikus, következik, hogy |Bj és B\ \ nem negatív értékek, s abban az esetben, ha a £1, £2,..., változók között nem áll fenn lineáris függés, a fenti determinánsok értéke pozitív. Az t] 1 és £1 változók közötti korrelációs együttható:

e07i> fi)

A*(f 1 • >7i)

D(^)D0n)

|B|

11

Ha a (<^1, €2, ■■■, f«) véletlen vektoreloszlása n dimenziós normális eloszlás, akkor rji független a £2,..., fB változóktól, f í-gyel pedig pozitívan korrelált. Ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy /71-ben a f2, £3, - fn változók hatását teljesen kiküszöböltük.

12.8 Parciális korreláció

Tekintsük ismét a <jji, £2, f„ valószínűségi változókat. Definíció: A- 1 ^Qik

M[6-M(6)][ffc-M(&)]

D(Zi)D(Zk)

korrelációs együtthatót totális korrelációs együtthatónak nevezzük.

Ha pit abszolút értéke közel van 1-hez, akkor azt mondjuk, hogy és között szoros korreláció áll fenn. Szoros korreláció mutatkozhat annak következtében is,

240