Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

II. rész. Matematikai statisztika - 12. Korreláció- és regresszióelmélet

Az összefüggés átrendezhető

y — y _ x — x

alakra, amely összhangban van az elméleti -—— = q-—— formulával, csak itt a

02 o i

megfelelő empirikus mennyiségek (becslések) szerepelnek.

12.5 Regressziós parabolák

Tekintsük ismét a folytonos eloszlású (£, rj) valószínűségi változó párt, amelyről feltételezzük, hogy együttes h(x,y) sűrűségfüggvényét ismerjük.

Ha a (f, rj) párra vonatkozó statisztikai minta síkbeli ponthalmazként ábrázolva szemlátomást nem teszi lehetővé az ?/ változónak a £ lineáris függvényével való közelítését, akkor (lehetőleg alacsony fokszámú) polinom segítségével közelítünk.

Tegyük fel, hogy rj értékeit a £ változó &-adfokú polinomja segítségével kívánjuk közelíteni:

rj ~ ao + a^ + aií2 + ... + ű*<f,

akkor a legkisebb négyzetek elvét alkalmazva az a0, a\, ...,ak együtthatókat úgy kell meghatároznunk, hogy

M[rj — (ű0 + ui + ... + a^fc)]2 = minimum legyen. Ez a várható érték az ao, űi, ..., ak ismeretlenek függvénye:

OO 00

(p(a0, au ..., ak) = J J (y-a0~ akx-a2x2 - ... - akxk)2h(x, y) dx dy.

Mivel a (p függvénynek szélsőértéke csak ott lehet, ahol az a,- változók szerinti parciális deriváltak zérussal egyenlők, a keresett együtthatókra az alábbi egyenletrendszer adódik:

00 00

1 öcp C '

— - — = (y — ao ~ aix— a2x2 — ... — dkXk)x'h(x, y) dx dy = 0

2 ocii J %

— 00 — 00

0-0, 1,2,..., k).

232