Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 3. A valószínűség

3.2.1 A valószínűségek közötti összefüggések

A valószínűség axiómáira épülő következő tételeket gyakran használjuk majd újabb tételek bizonyításakor, valamint feladatok megoldásakor.

1. Tétel. Az A esemény ellentétének valószínűsége:

P(A) = l-P(A).

Bizonyítás. Egy esemény és az ellentéte egymást kizáró események, és az egyikük biztosan bekövetkezik; vagyis AA = 0 és A + Ä=Q, ezért a 3. axióma felhasználásával

♦ P{Q) = P(A) + P(Ä).

A 2. axióma szerint P(£2) = 1, így

1 = P(A) + P(A).

Ebből rendezéssel

P(Ä) = 1 - P(A).

A tétel felhasználásával adjuk meg a lehetetlen esemény valószínűségét! A lehetetlen esemény a biztos esemény ellentéte, azaz Í2 = 0, ezért P{0) = P{Q). Az 1. tétel, majd a 2. axióma felhasználásával: P{Q) = 1 - P(Q) — 1-1 =0. Tehát a lehetetlen esemény valószínűsége 0. Megjegyezzük azonban, hogy ha egy esemény valószínűsége 0, akkor ez nem biztos, hogy lehetetlen esemény, vagyis bekövetkezhet; ha pedig egy esemény valószínűsége 1, akkor nem mondhatjuk, hogy ez biztos esemény.

Egy esemény és ellentéte egymást kizáró események és összegük a biztos esemény. Az 1. tétel szerint ezért ekkor a biztos esemény valószínűsége két eseményen oszlik el.

Definíció. Bizonyos események összességét teljes eseményrendszernek nevezzük, ha az események páronként kizárják egymást, és összegük a biztos esemény; azaz az Ai, Az,..., A„,... események teljes eseményrendszert alkotnak, ha AiAj = 0 (i^j) és

Ai + A2 +... + An +... = Q.

A definíció azt jelenti, hogy a teljes eseményrendszer eseményei közül - a kísérlet végrehajtásakor - mindig egy és csak egy következik be. Az események száma lehet véges, de az is lehet, hogy az események sorozatba rendezhetők. Teljes eseményrendszert alkot például egy kísérlettel kapcsolatos elemi események összessége, valamint egy esemény és az ellentéte. Az 1. tétel a következő tételből is megkapható.

22