Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 3. A valószínűség
2. Tétel. Ha az At, Az, ..., A„,... események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor a valószínűségük összege 1; vagyis P(Al) + P(Az) + ... + P(A„) + ... = 1. \ Bizonyítás. A teljes eseményrendszer definíciója szerint AtAj = 0 (i¥=j), valamint At + A2 +... + A„+... = Í2, így a 3. axióma szerint P(Ü) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) + ... . A 2. axióma felhasználásával már a tétel állítása adódik, azaz 1 = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)+.... A következőkben tetszőleges két esemény különbségének, ill. összegének valószínűségére vonatkozó tételeket bizonyítunk be. 3. Tétel. Az A és a B események B — A különbségének valószínűsége: P(B-A) = P{B)-P(AB). Bizonyítás. Az eseményeket szemléltető Venn-diagramról (2. ábra) leolvasható, hogy B = (B-A) + AB, és (B-A)(AB) = 0, ezért a 3. axióma alapján P(B) = P(B-A) + P(AB). Ebből rendezéssel P(B-A) = P(B)-P(AB). i Mivel B~A = BÄ, ezért a tétel a következő alakban is felírható: P{BÄ) = P(B)-P(AB). Megjegyezzük, hogy a 3. tétel speciális esetét kapjuk, ha A £ B, vagyis az A esemény bekövetkezése maga után vonja a B esemény bekövetkezését. Ekkor AB = A, igy a 3. tétel: P(B-A) = P(B)-P(A), ha A^B. 23
