Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

II. rész. Matematikai statisztika - 12. Korreláció- és regresszióelmélet

azaz minden görbe közül a regressziós görbe az, amelytől rj értékeinek négyzetes átlageltérése a legkisebb.

Bizonyítás. A szórásnégyzetre vonatkozó Steiner-formula szerint ha M(tj) = g2, akkor tetszőleges a számra

M(g-fii)I 2 ^ M(tj — a)2,

és egyenlőség csakis az a = g2 esetben áll fenn.

Legyen <p = (p{£) tetszőleges függvénye d;-nek, akkor rögzített é, = x értékre M2(x) = M{r\| £=x) az rj feltételes várható értéke, ip(x) = a valamely szám, tehát minden x-re:

M[t]-g2(x)]2 < M[rj-(p(x)]2.

Az M(r/\t; = x) feltételes várható érték valószínűségi változónak tekinthető, hiszen értéke attól függ, hogy £ melyik lehetséges x értékét vette fel, amennyiben rj nem független ^-től. Ez utóbbi esetben ugyanis M(rj\^ = x) = M(rj) = const. Ilyenformán, ha az M(g\^ = x) = fii{x) függvény nem az x tengellyel párhuzamos egyenes, akkor máris a £ és rj változók közötti függésre következtethetünk. E függés szorosságát a következő módon is mérhetjük.

Számítsuk ki az M(g\q = x) feltételes várható értéknek mint valószínűségi változónak a várható értékét és a szórásnégyzetét! Minthogy

ezért

M(rj\£ = x) =

I yh(x,y)dy

— 00

_____________

0

0

1 h(x, y) dy

h(x, y) ,

y~7TVdy'

fix)

Ez utóbbi összefüggés alapján a következő tételt mondhatjuk ki.

Tétel. Az rj változó M(tjlí = x) feltételes várható értékének várható értéke az tj változó (feltétel nélküli) várható értékével egyenlő.

224