Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

II. rész. Matematikai statisztika - 12. Korreláció- és regresszióelmélet

Az M(r/\£ = x) valószínűségi változó szórásnégyzete:

00

D2[M(r,\0\ = J [M2(x)-ti2]2f(x)dx.

— oo

Az tj valószínűségi változó feltételes várható értékének szórásnégyzete és rj szórásnégyzete segítségével a £ és rj változók kapcsolata szorosságának mérésére igen jó mérőszámot konstruált K. Pearson.

Definíció. Ha az íj változó £-re vonatkozó feltételes várható értékének szórásnégyzetét elosztjuk rj szórásnégyzetével, vagyis képezzük a

2 _ D2[M(r, I 0]

0,1 ‘

1

2

a

f \Pi(x)-ni]2f(x)dx

mennyiséget, akkor olyan számot kapunk, amelyre teljesül a

O<0^< 1

egyenlőtlenség. Ennek a mennyiségnek a pozitív négyzetgyökét a 0^ számot a és rj változók közötti korrelációhányadosnak nevezzük.

A korrelációhányados fontos tulajdonságát fejezi ki az alábbi tétel, amelyet bizonyítás nélkül közlünk.

Tétel. A 0,,^ korrelációhányados értéke akkor és csak akkor 0, ha £ és rj függetlenek, továbbá 0n$ értéke akkor és csak akkor 1, ha £ és rj között függvény- kapcsolat van.

A korrelációhányados tehát két valószínűségi változó kapcsolata szorosságának igen jó mérőszáma, előnyösebb tulajdonságai vannak, mint a korrelációs együtthatónak, amelynek bevezetése ugyancsak K. Pearson nevéhez fűződik.

12.3 A regressziós egyenes meghatározása a legkisebb négyzetek módszerével

A legkisebb négyzetek módszere a valószínüségszámításnak és a matematikai statisztikának jelentős technikai segédeszköze. Használatának jogosultságát az eredmények matematikai statisztikai vizsgálata támaszthatja alá. A módszer alkalmazását először két valószínűségi változó közötti kapcsolatot kifejező közelítő függvény keresésére vonatkozólag mutatjuk be. Ilyen közelítő függvény keresését indokolhatja,

225