Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

II. rész. Matematikai statisztika - 11. A statisztikai hipotézisek (feltevések) vizsgálata

egyesített, rendezett minta mindegyik eleme alá írjuk oda, hogy az melyik mintából származik, mégpedig úgy, hogy ha (T = £*, akkor (+ 1 )-et írunk, ha = akkor pedig (— l)-et. Ezáltal egy (+1) és (— l)-ekből álló 2n elemű sorozatot nyerünk, amelyben n db (+ l)-es és n db (- l)-es van. Jelöljük ezt a sorozatot így:

<^1> &2, • &2n,

ahol

= ± 1, 0=1,2, ...,2«),

2 n

I Ji=0.

i= 1

A19„ sorozatot grafikusan ábrázoljuk a következő módon: egy derékszögű koordináta-rendszerben az origóból indulva (+1) esetén jobbra felfelé, (—1) esetén jobbra lefelé rajzolunk egy |/2 hosszúságú vektort (48. ábra).

Képezzük most a {&„} sorozat elemeinek részletösszegeit:

So = 0, 5y=9u S2

3i+$2, Sí

— <9i + 92 + ••• + $;, •••, S2n = 0.

Az t-edik részletösszeg, Sí éppen a megrajzolt trajektória ordinátája az i-edik lépésnél. Az So, Sí, S2,..., S2n sorozat legnagyobb eleme a trajektória maximális ordinátája, amely éppen az E„(x) és Gn(x) függvények közötti maximális eltérés «-szeresével egyenlő [az F„{x) függvény javára számítottuk az eltérést]:

max Si = nDn.ni

Mivel a {$„} sorozat n db (+ l)-est és n db (— l)-est tartalmaz, az összes lehetséges

ilyen sorozatok száma hiszen 2n számú helyen n db (+ l)-es ennyiféle módon

helyezhető el. Ugyanennyi a sorozatnak megfelelő lehetséges trajektóriák száma.

Számítsuk ki, hogy a kérdéses trajektóriák közül hány olyan van, amely eléri vagy meghaladja az y = k egyenest!

Ha egy olyan trajektóriát, amely az y = k egyenest eléri, az első elérési ponttól kezdve tükrözünk erre az egyenesre, akkor olyan trajektóriát nyerünk, amely a (2«; 2k) pontban végződik. Tehát azon trajektóriák száma, amelyek a {$„} sorozatnak felelnek meg, és az y = k egyenest elérik, megegyezik az origóból induló azon trajektó210

48. ábra