Kozák Miklós: A szabadfelszínű nempermanens vízmozgások számítása digitális számítógépek felhasználásával (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1977)
Első rész. A szabadfelszínű permanens és nempermanens vízmozgások elmélete - 2. A szabadfelszínű nempermanens vízmozgások differenciálegyenletei
2.2. AZ ALAPEGYENLETEK LEVEZETÉSE A szabadfelszínű, fokozatosan változó nempermanens vízmozgás fizikai törvénye az anyag (tömeg) megmaradásának elvén és Newton 2. dinamikai axiómáján, vagy az energiamegmaradás elvén alapszik. Az elsőből levezethető az áramlás folytonossági (vagy kontinuitási), míg a másikból a dinamikai differenciálegyenlete. Attól függően, hogy a dinamikai egyenletben az erők egyensúlyát, vagy az energiamegmaradásának elvét, továbbá a súrlódási erőt, ill. a veszteséget hogyan vesszük figyelembe, levezethetünk egy energia- vagy egy impulzusegyenletet (lásd később részletesebben). Először a folytonos- sági, majd az impulzusegyenletet vezetjük le, és végül megadjuk az energiaegyenletet is. Az egyes összefüggések részletes levezetése lehetővé teszi annak megítélését is, hogy a kapott alapegyenletek mikor, milyen feltételek, ill. egyszerűsítések mellett érvényesek. Az alapegyenletek levezetése során előbb a közismertebb mérnöki szemléletet alkalmazzuk, és így vezetjük le a folytonossági és dinamikai alapegyenleteket. Ezt követően azonban, az impulzus- és az energiaegyenlet közötti „ellentmondás” feloldása érdekében Rouse, Chow, Keulegen, Strelkoff gondolatmenetét követve rámutatunk a két egyenlet közötti eltérés okaira. 2.2.1. A FOLYTONOSSÁG DIFFERENCIÁLEGYENLETE A folyadékmozgás folytonossága az anyag megmaradásának törvényén alapszik. A folytonosság differenciálegyenletének levezetésekor abból az alapgondolatból indulunk ki, hogy a folyadékmozgás folytonossága esetén, a folyadéktér bármelyik pontjának környezetében elhatárolt elemi térfogatba belépő és az onnét kilépő folyadék tömegének egyenlőnek kell lennie. Az ilyen feltételnek megfelelő folyadékok kontinuumosak, ellenkező esetben (pl. vízugrásban) diszkontinuumosak, melyre a folytonosság feltétele nem érvényes. A folytonosság feltételét kifejező differenciálegyenlet matematikai formája a függő változók választott rendszerétől, továbbá az egyértelműségi, vagyis a kezdeti és határfeltételektől is függ [22, 125, 176]. Vizsgáljunk egy olyan szabadfelszínű, fokozatosan változó nempermanens vízmozgást, melyet a hosszúság mentén q [m3/(sm)] oldal menti hozzáfolyás (vagy elfolyás) is jellemezhet. A folyadék legyen összenyomhatatlan, azaz q = q(x, y, z, t) = konstans (dgfdt = 0). A mederfenék x tengely menti <p hajlása (2.2—1. ábra), a gyakorlati értékeknek megfelelően legyen kicsi. A q lineáris terhelés csatornákban kialakuló vízmozgásoknál három részből tevődhet össze, és a vizsgált folyadékhasáb hosszegységére vonatkoztatott értéke: q= (qc — Is) cos cp + q0, (2.2—1) ahol qc [m3/(s m)] qs [m3/(s m)] qo [m3/(s m)] <P [°] a víz felszínére hulló csapadék, a vízfolyás hosszegységére vonatkoztatva, a talajból történő elszivárgás (—qs), ill. beszivárgás (-f^) értéke, az oldal menti hozzáfolyás (vagy elfolyás) vízhozama, és a mederfenék hajlásszöge (feltételezve, hogy a mederfenék és a vízfelszín hajlásszöge közelítően azonos). 62
