Kontur István (szerk.): Hidrológiai számítások (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1993)

2. Hidrológiai statisztikai módszerek - 2.3 Eloszlásfüggvények

2.3 Eloszlásfüggvények

47

2.3.1.2 A momentumok meghatározása osztályközökre bontással

Ha az adatsor hosszú, a számítási munka csökkentése és könnyítése érdekében a momentumokat osztályközre bontással is meghatározhatjuk. Az osztályközbe eső adatokat egyetlen szám képviseli, így természetesen az eredmények csak közelítőek lesznek.

Az osztályközök száma ne legyen 5-nél kisebb, de 15-20-nál nagyobb sem. Lehetőleg minden osztályközbe 5-nél több adat essék.

1. Egyenlő hosszúságú osztályközök

Célszerű, ha az osztályközök nemcsak egyenlő, hanem kerek hosszúságúak is, és a határ is kerek értéknél van. Páros számú osztályköz esetén a két középső osztályközt elválasztó határ az !- érték közelében legyen, páratlan számú

osztály köz esetén az előbbi érték a középső osztály közbe essék. így természetesen az első és az utolsó osztályköz „túlnyúlik” az adatsoron.

Egyenlő hosszúságú osztályközök esetén a momentumok számítása lényegesen leegyszerűsödik. Legyen

/ - az osztályközök hossza;

x ki - az i-edik osztály köz alsó és felső határának számtani átlaga, ez reprezentálja az osztály közbe eső adatokat;

xji - az z'-edik osztályköz gyakorisága (az osztályközbe eső adatok száma); xo - felvett közelítő középérték. Célszerűen a középső osztályköz x^-ja, vagy a legnagyobb gyakoriságú osztályköz Xfja.

Vegyünk fel minden osztályközbe egy k( értéket úgy, hogy az a felvett x0 osztályközében legyen 0, innen indulva a kisebb értékű osztályközök felé sorra — 1, —2, —3 stb., a nagyobb értékű osztályközök felé 1, 2, 3 stb.

Az így értelmezett ki segítségével az osztály közök közepei így számíthatók:

ezt átalakítva

Xki - x0 + ki ■ l Xki - *o

ki =

l

(2-68)

(2-69)

ami tulajdonképpen transzformált (új) valószínűségi változónak tekinthető.

Számítjuk az új valószínűségi változó m, „kezdeti” (xo-ra vonatkozó) momentumait:

m\ = (2-70)

N

/ _ E ■ ví - N , E %-Vi

(2-71)

(2-72)

— r;

majd a Steiner-formulával áttérhetünk a középértékre és a centrális momentumokra:

x = Xo + m\ ■ l M2 = l2(m'2 — m2)

M3 = l3(m'3 — 3m\m2 + 3m!3)

(2-73)

(2-74)

(2-75)