Kontur István (szerk.): Hidrológiai számítások (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1993)

3. Hidrológiai idősorok elemzése - 3.3 Trend elemzés

3.3 Trend elemzés

159

Az együttható mátrix inverze

1 A±I

1 2

N+1 N +1 2(lV + 2)-3

2 2 3

1

■I -1

2 3

így do és <fi számíthatók:

N + l . 2(7V + 2) —3 _ i^N + 1

• jV + l 2(lV+2)-3 2 ' 3

_ /V + l 2

2(;v~32)~3 • y - í • y

2(N + 2)-3 yv + l ~

3 2

JV2-1 12

Af+1

2

1

(3-55)

(3-56)

A trendszámítás illusztrálásául tekintsük a 3-1. táblázatban szereplő számpéldát (lásd a 3.1. fejezet végén a példát.)

Az N — 24 elemű idősor tagjai az y [m] talajvízállás havi középértékek, ahol i — 1,2,...,24 [hónap]. Az V)2 és i ■ Yi oszlopok számítása után Y és i ■ y, meghatározható. Ezek alapján a do és d\ együtthatók:

do

2(N32)-3 • y -i-Yi 2^á±i -2,948 - 39,596

2(N + 2) — 3 yy-t-i — 24-1 — 2,233 [ill]

3 2 6

és

dl

^ y + i-y, -f-2,948 + 39,596

IV2-1 — 242— 1

12 12

0,057[m/hó]

Ha di értékét, a trend iránytangensét ismerjük, akkor do már egyszerűen számolható annak alapján, hogy a trendegyenes várható értéke és az idősor várható értéke azonos:

y — Ti = do Y d\ • i = do + di —-— (3-57)

innen d0 = Y - dj = 2,948 - 0,057^ = 2,233 [m]

Számítsuk azután ki a trendegyenestől való eltérések idősorát:

Vi = Yi - Ti = Yi - do - di • i

(3-58)

Az yi (i = 1,2,..., A) sorozatot ugyancsak a 3-1. táblázat tartalmazza. Az eltérések összege zérust ad, ami a kerekítésekből adódó hibától eltekintve teljesül is. A számítások során erre mindig figyeljünk, mert ez jó ellenőrzése annak, hogy a számításokban durva hibát nem követtünk el.

A trendegyenes, mint minden regressziószámítás, a függő változó szórásának, szórásnégyzetének a csökkentését jelenti. Az eredeti adatok négyzetösszege: