Kontur István (szerk.): Hidrológiai számítások (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1993)

3. Hidrológiai idősorok elemzése - 3.2 Paraméterek becslése a legkisebb négyzetek elve szerint

3.2 Paraméterek becslése a legkisebb négyzetek elve szerint

155

Az eltérések négyzetösszegét nem csupán közvetlenül az eltérésekből tudjuk becsülni, hanem az eredeti adatokból számított értékek és a paramétervektor alapján is:

SE = (y-y)*(y-y) = (y-Xb) (y - Xb) =

= y'y - y*X(X*X)_1X*y = y*y - í*X*y (3-36)

ahol is a teljes négyzetösszeg ST = y*y — Eyf = 1054.

A redukció négyzetösszege:

SR — 'b'X'y (3-37)

ami, mint látható, nem más, mint a paramétervektor és a normálegyenlet jobb oldalának skalár szorzata:

SR — b*X*y = —[5650 - 5]

' 70'

665 2430

1042,5

Az eltérések négyzetösszege:

SE = ST-SR= 1054 - 1042,5 = 11,5

Az eredmény ugyanaz, mint az eltérések négyzetösszege alapján számolt érték. Különös jelentősége van a (3-36) képletnek akkor, ha az eltérések konkrét értékét nem ismerjük vagy nem számoltuk ki, de ismerjük a függő változó négyzetösszegét, a paramétervektor becslését és a normálegyenlet jobboldalát.

Az eltérések négyzetösszegének várható értéke:

M{SE} = [N-p(X)]a2e (3-38)

tehát az eltérések szórásnégyzetének torzítatlan becslése:

~2 SE *e ~ N - p(X)

(3-39)

ahol N az észlelési elemek száma, amelyből SE-1 számoltuk, és p(X) az X mátrix rangja, a szabadságfokok száma. Itteni példában 6o, bi, 62 tehát p = 3. így az eltérések szórásnégyzetének torzítatlan becslése:

11,5

5-3

5,75

Jól mutatja a fenti példa, hogy viszonylag kevés elemszám esetén nagy jelentősége van annak, hogy lineáris modellbe fölvett független változók, a paraméterek száma mennyi. Növelésük a megbízhatóság rovására megy. A lineáris modellek jóságának mértékét a korrelációs együtthatóval is szokták jellemezni. A korrelációs együttható négyzete az SR és a ST hányadosaként kapható meg:

SR _ bmX*y ST ~ y*y

(3-40)