Kontur István (szerk.): Hidrológiai számítások (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1993)

3. Hidrológiai idősorok elemzése - 3.2 Paraméterek becslése a legkisebb négyzetek elve szerint

154

3. Hidrológiai idősorok elemzése

b = (X*X)_1 ■ X* y (3-31)

b a „valódi” paramétervektor becslése. A becslés torzítatlan, azaz:

M{b}=b (3-32)

ahol M{ } a várható érték képzés jele.

A paraméterbecslés varianciája: a paramétervektor kovariancia mátrixa:

var( 6) = M j( 6 - b)(b - 6)*} = (X*X)_1 ■ a2e (3-33) ahol az eltérések szórásnégyzete.

Látható, hogy a paraméterek ingadozási mértéke (kovarianciája) a független változókból számított kovariancia mátrix inverzével arányos, és az arányossági tényező az eltérések szórásnégyzete. Az eltérések négyzetösszege:

N

SE = = e* ■ e = (y - y)* ■ {y - y) (3-34)

i—i

Az y = X b + e lineáris modellben a legjobb lineáris torzítatlan becslés:

A függő változó torzítatlan becslése a független változók alapján:

y = Xb

A korábbi példában

így:

56

50-5

Xb

'1

1

6

12

28' 40

1

’ 56'

‘ 9 ' 19

1

10

32

50

=

16,5

1

8

36

24

.-5.

11,5

1

9

34

14

Az eltérések sorozata:

e = {y - y)

Tehát: Ee = 0, ugyanis: Ee = 1 + 1 +0,5 +0,5 — 3 = 0 Az eltérések négyzetösszege:

'10'

' 9 '

' 1 '

20

19

1

17

—

16,5

=

0,5

12

11,5

0,5

11

14-3

S£= i2 + 12 + 052 + 0]52 + 32 _ n5

(3-35)