Kontur István (szerk.): Hidrológiai számítások (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1993)

3. Hidrológiai idősorok elemzése - 3.2 Paraméterek becslése a legkisebb négyzetek elve szerint

3.2 Paraméterek becslése a legkisebb négyzetek elve szerint

149

.Az idősor modellek paraméterei a trend komponensnél do, d\,..., dn, a periodikus komponensnél ao, aj, a^, ■ .., an és 61,62,..., 6„, az autoregresszív modellnél ci,C2,... ,Ck- A paraméterek számát tetszőlegesen nem növelhetjük, mert az csak látszólagosan növeli a pontosságot és a megbízhatóság csökkenéséhez vezet. Az alkalmazott idősormodell fokszámának megállapításánál erre gondolni kell, és a lehetőséghez mérten csökkenteni kell a modellek fokszámát. Az alkalmazandó idősormodell kiválasztásánál nagyon hasznos az idősor vizuális ismerete, ezért minden esetben először rajzoljuk föl az idősort, a vízszintes tengelyen az időt, a függőlegesen pedig megfelelő léptékben a kérdéses változót.

Például a 3-1. ábrán fölrajzoltuk a 808-as számú talajvízkút (Kunszentand- rás, Szedria puszta, Papp András udvarán, kútperem magassága 95,77 m A. f.) havi közepes talajvízállás adatait (jelen esetben a hidrológiai jelenségnek megfelelően függőlegesen lefelé mértük az értékeket és így a tényleges talajvízállás értékek láthatók), 1967. januártól 1968. decemberéig. Ezen 24 elemű minta alapján végezzük majd a későbbiekben az idősor felbontását kézi számítással (3.3 és

3.5 fejezetek), táblázatokban megjelenítve a lépéseket, hogy azok számszerűen is követhetők legyenek. A 3-1. ábrából látható, hogy ezen két évben jellegzetes süllyedő tendenciát mutat a talajvízállás trend, és bizonyos mértékig az éves (12 hónapos) periódus menete is fölfedezhető.

Az adatokat a 3-1. táblázat tartalmazza.

3.2 Paraméterek becslése a legkisebb négyzetek elve

szerint

Az előző pontban láttuk az idősor felbontását összetevőire. Minden esetben az adott idősor alapján kell meghatározni az idősor modell paramétereit. A paraméterek meghatározásának módját a legkisebb négyzetek elve alapján az alábbi példán mutatjuk be, mely eljárás általánosan alkalmazható. Legyen az általános regressziós modell alakja az alábbi:

n

Vi = Y,bJx>J i = 1,2,.... TV (3-19)

i = 1

ahol yi a függő változó becslése a lineáris modellel, x,j a j-edik független változó i-edik értéke, és 61,62,... ,bn a lineáris modell paraméterei.

Rendezzük az alábbi mátrixos formában a függő és független változót:

' y\'

' *11

*12 •

• *1 j ■

X\n

2/2

*21

*22

■ *2 j ■

%2n

y =

X

(N)

Vi

(N x n)

*il

*»2 •

Xij

.yN.-*JV1

*W2 •

%Nj--------1

C

yi a függő változóra vonatkozó észlelés i — 1,2,... N.

Az yi mért és az y,- becsült érték közötti különbség a lineáris modell hibája:

n

e; = yi ~ Vi = y. - ^bjXij

;= 1

(3-20)