Kontur István (szerk.): Hidrológiai számítások (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1993)

3. Hidrológiai idősorok elemzése - 3.2 Paraméterek becslése a legkisebb négyzetek elve szerint

150

3. Hidrológiai idősorok elemzése

illetve tömörebb mátrixos formában

illetve

y =

X

b

(N)

(N x n)

(n)

y =

X

6 + e

(N)

(N x n)

(») (N)

b a paraméterek

vektora.

’ ei '

'611

e

^2

b

^2

(AT) =

e,

1 (") =

bj

.eN .

A.

(3-21)

A Gauss által bevezetett legkisebb négyzetek elve föltételezi, hogy az e; hibatagok normális (Gauss) elosztást követnek.

Az e vektor várható értéke zérus. A 6 paramétervektor meghatározása a hibavektor négyzetének minimalizációja útján történik. A hibatag négyzetösszegét megkapjuk, ha az e vektort skalárisán önmagával megszorozzuk:

e* ■ e = (y — X • 6)* • (y - X ■ 6) = 1 = j/*2/-26*X*y + 6*X*X6 J

(3-22)

(A kifejezésekben a * a transzponált vektor, ill. mátrix jele.) Ez veszi fel a minimumát, ahol

a kifejezés ott

azaz

X*X 6 - X* y = 0,

X*X 6 = X* y

(3-23)

ahonnan:

b — (X*X)-1 • X’ y

(3-24)

a b arra utal, hogy ez a 6 paramétervektornak a mintából becsült értéke.

A fenti (3-23) lineáris egyenletrendszer egyenleteit normál egyenleteknek hívjuk. Az X*X (n x n)-es szimmetrikus pozitív definit mátrix az együttható mátrix, míg a X* y (n)-es vektor a normál egyenlet jobb oldala. A normál egyenletek (lineáris egyenletrendszer) megoldása a matematikában ismert módszerekkel lehetséges, illetve számítógépi számításnál a kész egyenletrendszer-megoldó rutinokat alkalmazhatjuk, nem feledkezve meg arról, hogy az együttható mátrix szimmetrikus és pozitív definit, ami a megoldásban könnyebbséget jelent. Megemlítjük, hogy a normálegyenletet úgy is megkaphatjuk, ha a (3-22) egyenletet bi, 62,..., bn szerint deriváljuk és a deriváltakat zérussal tesszük egyenlővé.