Dégen Imre: Vízgazdálkodás II. Vízkészletgazdálkodás (Tankönyvkiadó, Budapest, 1972)

6. Modellvizsgálatok a vízkészletgazdálkodásban - 6.4 Példák a matematikai modellek vízkészletgazdálkodási alkalmazására

K a vízkészletszabályozás összes költségét (Ft), amely a legegyszerűbb esetben az alábbi célfüggvény szerint alakul:

K = cl(Ní — Ui) + c2(t7i — Ni) (6—15)

A könnyebb értelmezhetőség és kezelhetőség érdekében alakítsuk át a (6—15) kifejezést az alábbiak szerint:

K = crS + c2-r (6—16)

ahol

Belátható, hogy IVj^ abban az esetben vesz fel minimális értéket, ha K — min.

A (6—16) célfüggvény az S és T valószínűségi változókat tartalmazza, ezért ebben az esetben a K = min kiszámításakor a célfüggvény várható értékének a minimalizálást kell előirányozni, vagyis az alábbi feladattal állunk szemben:

E(K) = min.

Ennek megfelelően a célfüggvény várható értéke* az alábbiak szerint írható fel:

Ni + oo

E(K) = q Js f(S)dS + c2 Jt f(T) dT (6-17)

u ffi

A (6—17) kifejezés minimalizálásának egyes lépéseit mellőzve, itt csupán néhány végkövetkeztetést teszünk.

— A (6—17) kifejezés akkor veszi fel a minimumot, ha a p kockázati együttható** az alábbi értéket veszi fel:

p =----SL---- (6—18)

C

l + c2

— A (6—18) kifejezés azt jelenti, hogy a vízpótló létesítménnyel szabályozott vízhasznosítási rendszer akkor működik optimálisan (azaz minimális költséggel), ha p(%) valószínűséggel vízhiány léphet fel, és csak 1 — p valószínűségi szinten pótoljuk a vízhiányokat. Más szavakkal ez azt jelenti, hogy

P[U(t) > Nt] = p (6—19)

* Ha a £ folytonos eloszlású valószínűségi változó és sűrűségfüggvénye f(x).

+ OO

akkor £ várható értéke, definíciószerűen: M(£) = j x(f)dx alakban írható fel (49).-OO

*

* A kockázati együttható (p) annak valószínűségét fejezi ki, hogy az biztonsági vízkészlet nem elegendő a tm, tn időszakban jelentkező vízhiány kielégítésére.

226