Csoma János - Szigyártó Zoltán: A matematikai statisztika alkalmazása a hidrológiában (VITUKI, Budapest, 1975)

1. A valószínűség elmélet és a matematikai statisztika alapfogalmai

egyes komponensek a halárszelvények egyenkénti pillanatnyi vízhozamaival azonosak.

Az ilyen módon értelmezett valószínűségi vektor változó eloszlása aztán az (1.7) összefüggés általánosításával kapott

P(íl < Xi, h <x2,. ■ £„ < x„) = F(x,, x2, ■ ■ x„) (1.21)

kifejezéssel jellemezhető, amelyet az egyes komponensek, az egyes valószínűségi változók „együttes eloszlásfüggvényé”-nek nevezünk.

Igen lényeges most már az a tétel, amely szerint a valószínűségi vektor változók egyes komponensei akkor és csakis akkor függetlenek egymástól, ha együttes eloszlásfüggvényük azonos eloszlásfüggvényeik szorzatával:

F(xb x2, . . ., x„) = F(xx)-F(x2) . . . F(x„). (1.22)

Más oldalról: a valószínűségi változók függetlenségével kapcsolatban külön is ki kell emelni azt, a bemutatott összefüggésből levezethető, ugyancsak igen fontos tételt, hogy n valószínűségi változó páronkénti függetlenségéből nem következik szükségképpen azok együttes függetlensége is.

A feltételes eloszlás és a regressziós görbe

Az előzőekben már láttuk, hogy egy valószínűségi változó definiálásakor mindig egyértelműen meg kell állapítani a figyelembe vett tényezőket — s ezzel szükségképpen azt a többi, összes, véletlen kategóriájú tényezőt —, amelyek együttes hatása eredményezi a valószínűségi változó véletlen jellegű ingadozását, azaz meghatározza a valószínűségi változó eloszlását. Ilyen módon valószínűségi változóról mindig csak bizonyos, jól körülírt feltételek teljesülése esetén beszélhetünk. A valószínűségi változó eloszlásához mindig, egyértelműen hozzátartoznak annak feltételei is.

Éppen ezért egy valószínűségi változó „jeltételes eloszlás”-áról beszélve sohasem arra a nyilvánvaló tényre gondolunk, hogy a szóban forgó eloszlás csak bizonyos feltételek teljesülése esetén érvényes, hanem ennél többre. Nevezetesen arra, hogy a korábban már figyelembe vett tényezőkhöz, feltételekhez, a megelőzően véletlen kategóriájúnak ítélt tényezők közül egy újat csatolunk; s az ennek következtében módosult véletlen jellegű ingadozás jellemzője lesz a feltételes eloszlás.

Például: Valamely vízgyűjtőterületen, mondjuk december hónapban a lefolyási tényező értéke magától értetődő módon valószínűségi változó. A talajművelés módjaitól, a megelőző időszak csapadékától és még sok más tényezőtől függően az ebben a hónapban leeső csapadékmennyiségek legkülönbözőbb hányada kerülhet lefolyásra. Egészen más tartományban, másképpen fog azonban ingadozni ez az arányszám akkor, ha a korábban a véletlen tényezői közé sorolt hőmérsékleti értéket megkötjük, s az érdekel bennünket, hogy milyen a lefolyási tényező mint valószínűségi változó ,,feltételes” eloszlása akkor, ha „feltételezzük”, hogy a csapadékhullás folyamán a hőmérséklet zérus körül volt.

Természetesen, ahogy az eredeti eloszlásnak is van eloszlásfüggvénye, lehet sűrűségfüggvénye, továbbá vannak momentumai és centrális momen