Csoma János - Szigyártó Zoltán: A matematikai statisztika alkalmazása a hidrológiában (VITUKI, Budapest, 1975)

1. A valószínűség elmélet és a matematikai statisztika alapfogalmai

3. ábra. Folytonos, alulról korlátos eloszlásfüggvény

Ami végül ennek az eloszlásfüggvénynek a matematikai tulajdonságait illeti, bebizonyítható, hogy az olyan monoton nem csökkenő, balról folytonos függvény, melynek határértéke a —oo-ben 0, s a -j-oo-ben 1. És fordítva: minden olyan függvény, mely rendelkezik az előbb összefoglalt matematikai sajátossággal, felfogható mint valamilyen valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.

Mindezek eredményeként tehát végtelen sok eloszlásfüggvényt lehet előállítani, hiszen végtelen sok függvény kielégítheti e feltételeket.

így az eloszlásfüggvény további matematikai sajátosságai a valószínűségi változó tulajdonságaitól függenek. Például: a diszkrét valószínűségi változó eloszlása úgynevezett lépcsős függvény (1. ábra), melynek ugráshelyei azonosak a valószínűségi változó lehetséges értékeivel, s e helyeken a függvényérték növekmény megfelel az adott érték előfordulására jellemző valószínűségnek. Vagy továbbmenve: a folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye is folytonos (2. ábra), s ha az ezenkívül még alulról, illetve felülről korlátos is, akkor a függvény már valamilyen véges nagyságú értéknél felveszi a 0, illetve az 1 értéket (3. ábra).

18