Csoma János - Szigyártó Zoltán: A matematikai statisztika alkalmazása a hidrológiában (VITUKI, Budapest, 1975)
1. A valószínűség elmélet és a matematikai statisztika alapfogalmai
A sűrűségfüggvény A folytonos eloszlásokra jellemző eloszlásfüggvények között különös figyelmet érdemelnek azok, amelyek ezen kívül szakaszonként simák is; azaz mindenütt (vagy legalábbis véges számú pont kivételével) differenciálhatok, s emellett még az F'(x) = f(x) függvény is mindenütt (vagy legalábbis véges számú pont kivételével) folytonos. Ezeknél az eloszlásoknál az f(x) = F'(x) függvényt az eloszlás „sűrű- ségfüggvény”-ének nevezik, s e sűrűségfüggvényre igaz a következő összefüggés: X F(x)=jf(t)d(t). (1.9) —oo A momentumok és centrális momentumok Az eloszlást tehát egyértelműen meghatározza az eloszlásfüggvénye, illetve — amennyiben létezik — a sűrűségfüggvénye. Emellett azonban gyakran szükség van arra, hogy az eloszlást bizonyos számadatokkal is jellemezzük. Erre a célra viszont legsokoldalúbb alkalmazási lehetőséget nyújtó paraméterekként a + oo mk = J xAdF(x) (1.10)---OO i ntegrállal definiált „momentum”-okát, illetve az + oo m,*=j(x — ?7i|)/'dF(x) (1.11) —oo integrállal értelmezett ,,centrális momentum”-okát lehet ajánlani, ahol k pozitív egész szám, s a dF(x) az F(x) függvény x értéknél tapasztalható növekménye. Diszkrét valószínűségi változónál tehát a dF(x) az x érték px valószínűségével egyenlő, s így ebben az esetben a fenti két integrál az mk — 2 xkpx (1.12) —oo < X < + cc mf = 2 (x — miY'pr (1.13) "OO < X < 4" oo szummába megy át; míg sűrűségfüggvénnyel rendelkező eloszlásnál dF(x) = f(x) dx, (1.14) s így a megfelelő momentumok az + oo mk= j x/,f(x) dx (1.15) 2* 19
