Bogárdi János: Korrelációszámítás és alkalmazása a hidrológiában (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952)
II. A kétváltozós, egyszerű korreláció számítása
39 Azonban Zxn = 0, mivel xn az egyes észlelési értékeknek a középértéküktől való eltéréseit jelöli. így az első normál egyenlettel megkapjuk aret: Zxnyn = Vry* Zxn yn _ o> r Sxn VEX» VZX*^ (37) A második normál egyenletet szerinti parciális differenciálással kapjuk vagyis SEp^-OxX,, —6,)» = 0 vagyis-2 2(yn-a1xn-b1) = 0 Uyn-a1X!xri — Nbt = 0, vagyis bx = 0, ami azt jelenti, hogy a keresett egyenes átmegy az X és Y koordinátarendszer kezdőpontján. Ez viszont természetes, hiszen a választott X és Y koordináta-rendszer kezdőpontja a (32) egyenleteknek megfelelő X' és V koordinátarendszerben az m0\t és mm értékpárnak megfelelő ponttal azonos, amelyre vonatkozóan a két változó középértéktől való eltéréseinek összege zérus kell legyen (Exn = 0 és 27y„ = 0). Hasonlóképpen kapjuk a2 és b2 értékét is : a2 = ——— = — r m és b2 = 0, (38) zyh °-y mivel ez a másik egyenes is átmegy természetesen a koordinátarendszer kezdőpontján. A fentiek alapján a keresett egyenlőségek: y°= min —mán = — rni x es <rx (39) x° = muo — mu„ = — rm y. . y Ha tehát az összetartozó értékpárokat ábrázoló pontok nem esnek pontosan egy-egy egyenesre a (39) alatti egyenletek adják az összefüggést legjobban megközelítő egyenesek egyenletét. Természetesen, ha a kapcsolat matematikai szabatossággal lineáris, vagyis a pontok pontosan egy-egy egyenesre esnek, akkor is a (39) alatti egyenletek adják meg a kapcsolatot kifejező egyenlőségeket. Ennek helyessége nyilvánvaló, hiszen ebben az esetben is a legjobban kiegyenlítő egyenes meghatározásának feltétele változatlanul ugyanaz. Ha a kapcsolatot kifejező egyenlőségeket az eredeti értékekre és nem a középértékektől való eltérésekre akarjuk felírni, akkor az X' és V koordináta- rendszerben bt és b2 értékét is meg kell határoznunk. A bx és b2 meghatározásához az egyenlőségeknek (32) alatti alakjából kell kiindulnunk, ahol tehát nem a középértékektől való eltérések, hanem a tényleges értékek szerepelnek. Ebben az esetben is az összes értékpár behelyettesítéséből származó eltérések négyzetösszegének kell minimumnak lennie.
