Bogárdi János: Korrelációszámítás és alkalmazása a hidrológiában (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952)
II. A kétváltozós, egyszerű korreláció számítása
38 legjobban megfelelnek. Ezt mint tudjuk a legkisebb négyzetek módszerének alkalmazásával érhetjük el. Ha a változók kapcsolatát lineárisnak tekinthetjük, a feladat így végeredményben a két egyenlőségnek legjobban megfelelő kiegyenlítő egyenesek meghatározása. Legyenek az egyenlőségek (35) alakúak és jelöljük a középértéktől való eltéréseket a megfelelő kis betűkkel,'vagyis vezessük be az előzőekben már alkalmazott jelöléseket. Említettük már a bevezetésben is, hogy a korrelációszámítás lényeges része a kiegyenlítés. Célszerűnek látszik, ha a kiegyenlítő számításnál szereplő feltételi egyenletek és normál egyenletek fogalmát itt a korrelációszámításnál is megállapítjuk. A feltételi egyenletek, — mint ismeretes — olyan matematikai kapcsolatokat fejeznek ki, amelyek vagy a mérési eredmények között, vagy a mérési eredmények és a belőlük levezetett értékek között állanak fenn. Számuk kevesebb, mint az egyenletekben szereplő ismeretlenek száma és ezért sok gyökük van. A kétváltozós, egyszerű korrelációszámításnál a (36) alatti egyenletek tekinthetők feltételi egyenleteknek. Számuk tehát kettő. Az ismeretlenek ax, a2, bx és b2, számuk tehát négy. Meghatározásuk a két változó N összetartozó értékpárja alapján a normál egyenletek segítségével történik. A normál egyenleteket úgy nyerjük, hogy az ismeretlenek szerinti parciális differenciálással az eltérések négyzetösszegének minimumát keressük meg. A normál egyenletek száma tehát megegyezik az ismeretlenek számával, vagyis kétváltozós korrelációszámításnál számuk négy. Esetünkben, mint majd látni fogjuk, a (37) és (38) alatti egyenletek adják a négy normál egyenletet. Ezekután határozzuk meg az ö1( a2, bx és b2 értékeket. A kiegyenlítő egyenesnél y(> helyett valami y érték felel meg a felvett x-nek. ax és bx úgy határozandó meg-, hogy az összes pontokat tekintve eltérések négyzetösszege minimum legyen. Az n — 1-től n = N-ig sorszámozott értékpároknál az n-edik értékpárnál a középértéktől való eltérések yn és x„, a kiegyenlítő egyeneshez képest fellépő eltérés, azaz a hiba pedig Xn. LA* = E{yn — y°)2 = E[yn-{axxn + b1)]2 = min. feltételt kell tehát kielégítenünk. Az eltérések négyzetösszege ott lesz minimum, ahol az ax és bx szerinti parciális differenciál-hányadosok zérussal lesznek egyenlőek. Ebből ax és bx meghatározására két normál egyenletet nyerünk. Az első normál egyenlet: akkor a keresett egyenlőségek alakja az alábbi : yO = a1x + b1; xO = a2y + bt. (36) E(y-y°Y = 9£[y„ — (axxn + bj)]2 9űj Exny = 0, vagyis -2 E(yn — a1xn-bj)xn = 0 n-alEXn-blExn = 0.
