Bogárdi János: Korrelációszámítás és alkalmazása a hidrológiában (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952)
II. A kétváltozós, egyszerű korreláció számítása
. 26 A p paramétereket is célszerű, mint szorzathatvány momentumokat értelmezni. Mivel pedig a p paramétereknél egy valószínűségi változónak saját várható értékétől való eltérései bizonyos hatványának várható értékét képezzük, a p paramétereket centrális momentumoknak nevezhetjük. A valószínűségi változó várható értékét minden esetben mint m szorzathatvány momentumot fejezzük ki. Ha a valószínűségi változó folytonos, a paraméterek kiszámításánál is szerepel a változó eloszlás függvénye és valószínűségi sűrűség függvénye. Eszerint egy X valószínűségi változó k-ad rendű centrális momentumán a (Xi — m^)k kifejezés várható értékét értjük. Itt is a k-ad rendű centrális momentumot úgy jelöljük, hogy »&«a p indexébe kerül. Vagyis pk — E(X*—mj)k. Ha a valószínűségi változó folytonos, p, paraméter integrál formájában, ha pedig végesszámú a változó, szumma alakjában jelentkezik a p, paraméter. Végesszámú X változónál tehát pfc = Z(Xj — m1)fc p,-, folytonosnál pedig Pa = í (X — mtf f(x) dx. Az első centrális momentum értéke, amikor k = 1, zérussal egyenlő, mivel folytonos valószínűségi változónál a várható értéktől, végesszámú változónál pedig a számtani középtől való eltérések összege zérus kell, hogy legyen. Vagyis / t. pi=,f(AT — mx) f(x) dx = 0, ill. pk = 27(V,— mj) p, = 0. Különleges jelentősége van a második centrális momentumnak, amely megadja a X valószínűségi változó szórásnégyzetét. Ugyanis p2= E[(X, — mj)2] =o£. A fentiek szerint, ha a valószínűségi változó folytonos Pa = J(* — mi)2 f(x) dx == o* , ha pedig a valószínűségi változó végesszámú, akkor pa = Z(Xi-m1y p,= ^- Z(Xi-m1)*=j}jA szórásnégyzet tellát azonos a második centrális momentummal. (Lásd a (9) és (10) összefüggést.) A centrális momentumokat két változónál is képezhetjük. Ebben az esetben a p paraméter indexében kis függőleges vonás fogja elválasztani a két változó hatványkitevőjét. Itt is célszerű, ha ezt a jelölést az egy változóra vonatkozó és már ismertetett centrális momentumokra is bevezetjük. Az egy változóra vonatkozó p paramétereket úgy képzelhetjük el, hogy a második változó a»0« hatványon szerepel. Vagyis p& helyett pfc|0, px helyett p1]Q és p2 helyett p2i0 Írandó. A korrelációszámításnál két változóról van szó, s így a p paraméterek legáltalánosabb alakját, vagyis a centrális momentum általános alakját, a két változó középértéktől való eltérései bizonyos hatványainak szorzatából képezhetjük. Eszerint P/ig— E [(X — muoy (Y m0u)g] (16)
