Szocialista Nevelés, 1957 (2. évfolyam, 1-10. szám)
1957-07-01 / 7. szám - Schramm László: Matematikai tételek bizonyítása
Schramm László, Bratislava: Matematikai tételek bizonyítása 209 Ellentétes tétel Ha valamilyen C kijelentés az A kijelentés ellenkezőjét állítja, azt mondjuk, hogy a C kijelentés az A kijelentéssel ellentétes (az A kijelentés ellentétje). Ezt így jegyezzük fel: C = non A. Pl. az a=0 állítás ellentétje az a^O állítás. Az ellentétes állítások meghatározásánál igen óvatosan kell eljárnunk. Gyakran előfordul, hogy maga a tanító is helytelenül fogalmazza némely kijelentés ellentétjét. Pl. az „a pozitív szám” kijelentés ellentétje nem az „a negatív szám” kijelentés, hanem az „a nem pozitív szám, azaz a^O”; vagy „P(x) = 0 egyenletet egyetlen x szám sem elégíti ki” állításnak nem ellentétje a „P(x) = 0 egyenletet minden x szám kielégít” állítás, hanem hogy a „P(x) = 0 egyenletet valamilyen (legalább egy) x szám kielégít” állítás. Hasonlóképpen a „minden” kijelentés ellentétje nem „egy sern”, hanem „nem minden”; a „mindig” kijelentés ellentétje nem „soha”, hanem „nem mindig” stb. A tanítónak helyesen kell fogalmaznia az ellentétes állításokat, mert a matematikában többször kell valamely állítás ellentétjét kimondanunk. Ha valamilyen tétel alakja A=>B, akkor az ellentétjét így írjuk non B=>non A (II) azaz, ha nem igaz B, akkor nem igaz A sem. A (II) tétel mindig igaz, ha igaz a (I) tétel. Ez azt jelenti, hegy a két tétel (I és II) egyidejűleg igaz, valamint azt is, hogy minden tételhez kimondható a vele ellentétes tétel. A non A = > non В (III) tétel nem ellentétje а (I) tételnek és az (I) tétel érvényességéből nem következik a (III) tétel érvényessége. Ha az (I) tétel alapján mindig érvényes lenne a (III) tétel is, akkor pl. a 4. tételt így is fogalmazhatnánk: „Ha a ^0, akkor az a.b szorzat nem egyenlő nullával (a.b^O), Ez a tétel azonban nem mindig érvényes (igaz), mert a^O, de b = 0 esetében a.b = 0. A 4. tételhez tartozó helyesen fogalmazott ellentétes tétel így hangzik: „Ha a.b^O, akkor a^O.” A 3. tétel ellentétje: „Ha nem érvényes az a.b>0 állítás, nem érvényesek egyidejűleg az a>0, b>0 állítások sem”. Ez a tétel azt jelenti, hogy. ha ab<0, akkor vagy a>0, b<0, vagy a<0, b>0; vagy ha ab = 0, akkor vagy a = 0, vagy b = 0, vagy a = 0 és b = 0. Fordított tétel Ha az (I) tételben felcseréljük a feltevést a következménnyel, fordított tételt kapunk, amelynek alakja B= >A (IV) Ha igaz az (I) tétel, а (IV) fordított tétel lehet igaz, de nem kell feltétlenül igaznak lennie. Ezt az állításunkat példákon fogjuk megvilágítani.
