Ciszterci rendi Szent István katolikus gimnázium, Székesfehérvár, 1893

2! — Tegyünk a nyert egyenletben x helyére —x-et s vonjuk ki ezt a főegyenletből: log (1+,) = ^ - * + - - - + ; - 4-... log (1- x) = -*- 1 - t - t ~ v ~ : -••• - + + + + + + + log (1-j-s) - log(l x) = 2a- + T + T + T + • • • log (1+ar) — M 1—x) = 2 (*+ £ -} f + f + • • •) Már első tekintetre kitűnik, hogy ezen sornak nagv előnye van az előbbi fölött, mert nemcsak a tagok birnak egyenlő jellel, hanem azonfólül ezen sor nagyobb összetartással is bir, mindazáltal még nem teljesen összetartó, erre nézve hogy igényünknek teljesen megfeleljen, még a következő változtatásokat kell itt végrehajtanunk. Tekintetbe vévén, hogy x való tört, ennélfogva x helyett a következő értéket helyettesíthetjük : x- = ' ebből Í+? = /' mert 2í/

a—1 1—x y

2— 1 y-— y- —1 — x = y' —• y'x ezt összevonva lesz : 2y'x — x — 1 x (2y- — 1) =' 1 s igy i x ~~ sy»-i ezen értéket most a fennebbi egyenletben behelyettesítvén, lesz: /.,,. >i" _ 9 T 1 -u 1 - • -i -4- - -4- 1 -4- 1 Ezen sor most már igen nagy összetartással bir, mivel pedig log J'1, = log y

! •— log (y~— 1) és log if — 2 log y továbbá log (y~ — l ) — log (y + 1) (.V —1) ezekét behelyettesítvén 2 logy — [log(y+ 1 )-f log [y— 1)] „ -f- + .

WL„= + + • •] logy = ' log (y-f 1) -f í log (y— 1) -f [

(

2,

/

J'_

1

) -f + + + • •] Ez tehát végre azon kivánt képlet, a melynek segélyével a logarithmusokat ki leliet számitani a legnagyobb könnyűséggel és pontossággal, akárminő értéket helyettesitünk y helyébe O-tól egész oc-ig, csak az szükséges, hogy y értékénél egygyel nagyobb és y értékénél egy gyei kisebb számoknak logarithmusai ismeretesek legyenek. Ezen kifejezés első tekintetre kissé viszásan hangzik, midőn ugyanis épen a logarithmusok kikeresésével foglalkozván, még egyetlen számnak logarithmusát sem ismerjük s mégis a keresett számnak egygyel nagyobb t. i. (y -{- 1) és egygyel kisebb t. i. (y—1) logarithmusai már mint ismeretesek tételeztetnek fel, azonban ez csak látszólagos ellenmondás, ezen most lehozott képlet segélyével ugyanis 2 és 3-nak logarithmusait ki lehet számitani s ezen két szám logarithmusának minden