Ciszterci rendi Szent István katolikus gimnázium, Székesfehérvár, 1892
— 15 — elemére; minthogy a C-n keresztül menő normálsíkban fekszik. Tehát aiftiyi egy görbét alkotnak, melynek érintői Aa\, Z?/?i, Cyi az evolvensre ABC pontokban merőlegesen állanak következőleg «i/3r/i stb. által képezett görbe az evolvens egyik evolutája. Az a\ helyét egészen szabadon választhatjuk az A na egyenesben, tehát egy evolvenshez végtelen sok evoluta tartozik, s ezek mind az evolutafelületen fekíisznek. Kimondhatjuk tehát, hogy adott görbének evolutája minden olyan görbe a hozzátartozó evolutafelületen, melynek evolutái öt metszik. Innen is következik továbbá az, hogy térgörbének evolutája csak térgörbe lehet, mert ha a síkgörbének érintői a síkgörbe síkjába esnek, s így nem metszhetik a térgörbét a melynek görbületi síkja pontról-pontra változik. Miután e tárgyalásnál semmi megszorítást sem tettünk azon esetre, ha az evolvens síkgörbe, következik, hogy ennek is végtelen sok evolutája van, ezek közül azonban csakis egyetlen síkgörbe, a mint ezt már az evolvens és evoluta egyenleteinek fejtegetésénél láttuk. Ezen következtetés levonása után folytassuk tovább a gondolatmenetet s lássuk a különbséget a sík- és térgörbék evolutafeliiletei között. Láttuk, hogy az evolutafeliilet nemzővonalai az evolvensnek tengelyei, melyek magukban foglalnak egy-egy görbületi középpontot is. A görbe tengelyei másrészt merőlegesek minden pillanatban a görbületi síkra; tehát az evolutafeliilet oly vonalfelület, melynek nemzővonalai az evolvens görbületi sikjára merőlegesek. Ha az evolvens síkgörbe, akkor görbületi síkja változatlan, s így az evoluta nemzővonalainak iránya is ugyanaz marad; s a párhuzamos nemzővonalak hengerfelületet alkotnak. A síkgörbék evolutafeliilele tehát mindig hengerfelület. Az evolutafelület érintő síkja, a mely két szomszédos nemző vonal síkjával esik össze, ábránkban aiAofii, egyúttal az evolvensnek normálsíkja tehát AB-re merőleges, s így ennek síkjára is A81B vagyis síkra, a mely pedig az evolutának görbületi síkja. Mondhatjuk tehát általában, hogy az evolutafelület bármely érintő síkja merőleges minden egyes evoluta görbületi síkjára; másrészt a felületnek azon vonalai, melyeknek mentében az érintősík merőleges a felületi görbe görbületi síkjára legrövidebb vonalak. Tehát az evoluták az evolutafelületnek legrövidebb vonalai. A síkgörbék evolutafelülete, mint fentebb láttuk, henger; összes evolutáik tehát csavarvonalok, mert ezek a hengerfelületen a legrövidebb vonalok. 6. § Az evolvens és az evolutafelület fordulati görbéjének viszonya. Az evolutafelület fordulati görbéje pontjainak, azaz az evolvenshez tartozó osculáló gömbök középpontjainak koordinátái voltak dn 5— ds 1. ds < A
