Pénzes István (szerk.): Műszaki nagyjaink 6. Matematikusok, az oktatás, a gépészet és a villamos vontatás alkotói, kiváló lisztvegyészek (Budapest, 1986)
Dr. Ádám András - Dr. Dömösi Pál: Kalmár László
Az ellentmondástalanságot illetően viszonylag megnyugtató a helyzet. Több fontos axiómarendszer ellentmondástalansága részben nyilvánvaló, részben be van bizonyítva, de a fennmaradó fontos axiómarendszerek esetén is valószínűtlen, hogy ellentmondások bukkanjanak fel. Igen jelentős sikere volt az ellentmondástalansági vizsgálatoknak, amikor Gerhard Gentzen 1935-ben kimutatta a természetes számok aritmetikája axiómarendszerének ellentmondástalanságát. Gentzen eredeti bizonyítása meglehetősen bonyolult volt, ez arra indította a matematikusokat, hogy egyszerűbb bizonyításokat keressenek ugyanerre a tényre. Kalmár László egyike volt azoknak, akiknek sikerült egyszerűbb bizonyítást találniuk; bizonyítása David Hilbert és Paul Bernays összefoglaló könyvében kapott helyet.11 (3. ábra) Gyökeresen másként állnak a dolgok a teljesség kérdésében: az derült ki, hogy teljes (kategorikus) axiómarendszer nem létezik. 1930 körül ugyanis Kurt Gödel arra a (sokak számára meglepő) eredményre jutott, hogy egy eléggé szabályos, eléggé kifejezőképes és ellentmondástalan axiómarendszerhez11 12 szükségképpen létezik olyan probléma (pontosabban: ,,igen” vagy ,,nem” választ igénylő kérdés), hogy — ámbár magát a problémát meg lehet fogalmazni a rendszer eszközeivel — a rendszeren belüli eszközökkel a problémára sem bizonyítás, sem cáfolat (azaz olyan következtetés, amely a probléma tagadását bizonyítja) nem adható. Kalmár főként a [21], [29], [30], [34] munkáiban (4. ábra) járult hozzá e tárgykörhöz; a szabályossági és kifejezőképességi feltételeket igyekezett úgy kiróni, hogy azok minél enyhébb korlátozást jelentsenek (vagyis a tekintetbe jövő axiómarendszerek köre minél szélesebb legyen), és emellett arra törekedett, hogy az eldönthetetlen probléma minél egyszerűbb és természetesebb konstrukcióval adódjék. A megválaszolhatatlan kérdések irodalmának a Gödel munkáját követő fellendülése során Alonzo Church még tovább ment egy lépéssel: a harmincas évek közepén problémát szerkesztett, amelyről azt mutatta meg, hogy — bizonyos értelemben, mégpedig az úgynevezett általánosan rekurzív módszerekkel — elvileg lehetetlen akár bizonyítást, akár cáfolatot adni rá. (Egy konkrét axiómarendszer le rögzítése itt nem játszik bele a kérdésbe.) Church eredménye a matematika (és a filozófiai ismeretelmélet) alapjait érintő élénk vitákat váltott ki. Az ő problémája olyan szerkezetű, hogy végtelen sok részproblémát13 fog össze egyetlen problémává; természetes ezek után, hogy tisztázó célú vita 11 [C. 6], II. kötet, 513—535. oldal. Supplement V/A. (E könyv két kötete eredetüeg 1934-ben, ill. 1939-ben jelent meg; Kalmár bizonyítását az első kiadás csak utalás formájában érintette, s az csupán a második kiadásban vált hozzáférhetővé.) 12 A szabályosság és kifejezőképesség megkövetelése bizonyos (technikai okokból adódó) korlátozásokat jelent; ami fontos ebben, az az, hogy a matematikában felmerülő axiómarendszerek mindig eleget tesznek ezeknek a korlátozásoknak. 13 Pontosabban: megszámlálhatóan végtelen sokat, vagyis a pozitív egész számok mindegyikéhez egyet-egyet. (Csak ennyit; a megszámlálhatóan végtelen a legkisebb a halmazelméletben fellépő végtelen számosságok között.) 60
