Pénzes István (szerk.): Műszaki nagyjaink 6. Matematikusok, az oktatás, a gépészet és a villamos vontatás alkotói, kiváló lisztvegyészek (Budapest, 1986)
Dr. Ádám András - Dr. Dömösi Pál: Kalmár László
Supplement V. Widerspruchsfreiheitsbeweise für den zahlentheoretischen Formalismus. A. Der Kalmársche Widerspruchsfreiheitsbeweis.1 Der zahlentheoretische Formalismus, dessen Widerspruchsfreiheit bewiesen werden soll, ist das System (Z). Mit einem Nachweis der Widerspruchsfreiheit von (Z) wird auch die Widerspruchsfreiheit von (Zß) erwiesen; das ergibt sich aus der Beziehung der beiden formalen Systeme auf Grund der Definierbarkeit des Symbols fixA (x) durch einen i-T°rm und des Theorems über die Eliminierbarkeit der Kennzeichnungen *. Im System (Zß) können, wie wir wissen, die primitiv rekursiven Funktionen und, in einem schwächeren Sinne, auch die quasi-rekursiven Funktionen expücite definiert werden 1 * 3 4. Andrerseits bedeutet es für den auszuführenden Beweis keine Erschwerung, wenn wir von vornherein den Formalismus (Z) dadurch erweitern, daß wir die Einführung von Symbolen für berechenbare Funktionen einer oder mehrerer Zahlenvariablen zulassen, d.h. von Funktionen, für welche ein Verfahren der Berechnung hirer Werte für Ziffemwerte der Aigumente gegeben ist. An den Begriff der Berechenbarkeit knüpfen sich die Begriffe der „wahren" und der „falschen“ sowie der „verifizierbaren" Formel. Eine Formel sowie ein Tenn heiße „numerisch“, wenn darin keine Variable auftritt *. Eine numerische Gleichung heißt „wahr“, wenn auf Grund der Berechnung der auftretenden Funktionen sich beiderseits der gleiche Ziffemwert ergibt; andernfalls heißt sie „falsch“. Einer wahren Gleichung wird der Wert „wahr", einer falschen Gleichung der Wert „falsch" zugeschrieben. 1 Der im folgenden dargesteUtc Beweis von László Kalmár ist bisher nicht publiziert worden. Er wurde im September 1938 in einem ausführlichen Manuskript vorgelrgl.- Vgl. die Feststellungen im Bandii, S. jjS (Zeile 26-52). Das System (Z) wurde im Band I, S. 381 eingeführt, das Symbol ux A (x) im Band I, S. 405 und das Svstem {Zfi) im Band II, S. 306. Das Theorem über die Eliminierbarkeit der Kennzeichnungen wurde im Band I, § 8 bewiesen. 3 Vgl. Band I, S. ^21— 430 und Band II, Suppl. II, S. 412—413 4 Dieser Gebrauch der Terminus „numeiisch" bedeutet eine Erweiterung gegenüber unserer früheren Definition im. Band I, S. 228 und Band II, S. 34, wonach eine variablenlose Formel nur dann „numerisch" genannt wurde, wenn alle darin vorkommenden Terme Ziffern sind. 33 Hilberi-Bemays, Grundlagen der Mathematik 11,2. Aufl. 3. ábra Hübert és Bemays könyve azon függelékének első oldala, amelyben a szerzők Kalmár bizonyítását hozzák nyilvánosságra [C. 6] 61
