Pénzes István (szerk.): Műszaki nagyjaink 6. Matematikusok, az oktatás, a gépészet és a villamos vontatás alkotói, kiváló lisztvegyészek (Budapest, 1986)
Dr. Ádám András - Dr. Dömösi Pál: Kalmár László
III. Munkásságáról 1. Matematikai logika A matematika valamely ágának rendszeres tárgyalása rendszerint azzal indul, hogy felsoroljuk az illető terület alapfogalmait, és kimondjuk az alapfogalmakra vonatkozó (az azok kapcsolatát lerögzítő) axiómákat.10 Úgy vesszük továbbá, hogy^többé vagy kevésbé hallgatólagosan) körül vannak határolva azok a következtetési módok, amelyeket helyesnek fogadunk el. Ezek után a tekintett matematikai terület tárgyalása főképpen abban áll, hogy az axiómák alapján újabb fogalmakat definiálunk, problémákat fogalmazunk meg, és a felmerülő (kellő szabatossággal felvetett) problémákra választ igyekszünk kapni. Mit jelent az, hogy „kellő szabatossággal” vetjük fel a problémákat, és milyen jellegű a válasz, amire várunk ? A problémákat célszerű olyan alakra hozni, hogy ,,igaz-e az, hogy . . .” típusú kérdésként, vagy — ami lényegileg ugyanaz — igenlő vagy tagadó választ igénylő sejtés gyanánt legyenek megfogalmazva. A probléma megoldása pedig azt jelenti, hogy bizonyítást dolgozunk ki, amely (az axiómákra és azok korábban már ismert következményeire támaszkodva) a kérdésre igenlő vagy tagadó választ szolgáltat. Ha (hibátlan) bizonyítást sikerült adni. akkor ezáltal vagy maga a sejtés, vagy annak tagadása (negáltja) a vizsgált matematikai elmélet tételévé emelkedik. Az ekként vázolt axiomatikus módszer a matematikában általánosan elfogadott eljárás, minden matematikai ágat nagyjából ilyen módon építünk fel. Ennélfogva a matematika egészére ki kell, hogy hasson annak a kérdéskörnek az általános vizsgálata, mennyire bízhatunk meg egy axiómarendszerben. Tegyük fel, hogy összeállítottuk axiómák egy rendszerét (azzal a szándékkal, hogy axiómáink egy matematikai elméletnek szolgáljanak alapul). Remélhetjük-e, hogy a megfogalmazható sejtések bármelyikére megtalálható vagy az igazolás, vagy a cáfolat; de olyan rendellenes helyzet sohasem fog előállni, hogy magát a sejtést is be tudjuk bizonyítani, és az azzal ellentétes állítást is ? Világos, hogy jónak csak akkor tekinthetünk egy axiómarendszert, ha nincs olyan állítás, amelyet rendszerünk alapján igazolni is, cáfolni is lehet; vagyis ha ellentmondástalan (más kifejezéssel: konzisztens) az axiómarendszer. És ha az ellentmondástalanság teljesül is, ideális fokban akkor lenne megfelelő a rendszerünk, ha minden sejtésre, amely a rendszerre építve felvethető, axiómáink (ilyen vagy olyan) választ szolgáltatnának, vagyis ha teljes (másképpen: kategorikus) rendszerrel volna dolgunk. Mit mondhatunk a matematikában használatos axiómarendszerek ellentmondástalanságáról és teljességéről ? 10 Például a geometriában a pont, egyenes és a sík alapfogalmak; alapfogalmai a geometriának emellett bizonyos relációk is, például ,,a P pont illeszkedik az e egyeneshez” reláció. A szokásos axiómák egyike így hangzik: valahányszor P és Q két különböző pont, akkor egy és csak egy olyan e egyenes létezik, hogy P is, Q is illeszkedik e-hez. 59
