Pénzes István (szerk.): Műszaki nagyjaink 6. Matematikusok, az oktatás, a gépészet és a villamos vontatás alkotói, kiváló lisztvegyészek (Budapest, 1986)
Dr. Szénássy Barna: Bolyai Farkas
A két utóbbi mozgást ma rotációnak nevezzük. A transzláció és a rotáció kombinálása a különböző' összetett mozgásokhoz vezet. Ezek igénybe vételével számos geometriai alakzat (pl. egyenes, kör, gömb, gúla, kúpfelület, hasáb stb.) származtatására nyílik lehetősége. Hiányzik Bolyai Farkasnál a fenti mozgások analitikus tárgyalása, de hisz hosszú út vezetett Felix Klein erlangeni programjához (1872), valamint a folytonos mozgáscsoportoknak a múlt század végén S. Lie által kidolgozott elméletéhez. * * * Bolyai Farkas ifjúkori kutatásainak a centrális problémája az euklideszi párhuzamossági axióma bebizonyítása volt. Ez az axióma a legmodernebb fordítás (1. Euklidész: Elemek. Gondolat Kiadó, 1983. 46—47. o.) szerint a következő: ,,Követeltessék meg . . . , hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalán keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak”. Pontosabban szólva Bolyai Farkas legelső kéziratos értekezésében ([VIII]) nem magát az euklideszi párhuzamossági axiómát, hanem az ezzel egyenlő értékű (ekvivalens), Claviustól (1574) eredő alábbi helyettesítő axiómát iparkodott bebizonyítani: az egyenes „távolságvonala” szintén egyenes. Magyarázatként azt kell megjegyeznünk, hogy egy egyenes d távolságú „távolságvonalán” a tőle (egyazon síkban) d távolságra levő pontok összességét értjük. Mivel az alapegyenes a síkot két részre osztja, azért ugyanazon síkban két d távolságú távolságvonala van. Bolyai Farkas indirekt úton kísérelte meg a távolságvonal egyenes voltának igazolását. Igen éleselméjű gondolatmenetében azonban Gauss észrevette a hiányosságot, a hézagot pedig későbbi (1808) kézírásos tanulmányában ([IX]) sem sikerült eliminálnia. Ma már nyilvánvaló, hogy fáradozása nem is járhatott sikerrel, hisz az euklideszi párhuzamossági axióma (és ennek megfelelően bármely helyettesítő axióma) független a többi euklideszi axiómától, tehát azokból le nem vezethető. Az első kudarcok hatására Bolyai Farkas még tovább vizsgálódott ezen a téren, de csak arra szorítkozva, hogy minél szemléletesebbel helyettesítse az euklideszi párhuzamossági axiómát. Ugyanakkor egyre határozottabban látta, hogy helyettesítő axiómákkal az euklideszi geometria „szégyenfoltja” nem tüntethető el. Összesen kilenc helyettesítő axiómát talált, közöttük szerepel a következő: „három pont vagy egy egyenesen, vagy egy körön van”. A szakirodalom ezt a helyettesítő axiómát minősíti a legszemléletesebbnek. * * * 37
