Szőke Béla (szerk.): Műszaki nagyjaink 3. Fizikus és matematikus alkotó oktatók, főként a mérnökképzés tanárai sorából (Budapest, 1983)

Sztachó Lajos: Kürschák József

általa használt axiómák, és az euklidesi geometria axiomatikus felépítésének lezárása először D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie c. munkájában történt meg 1899-ben.

Az euklidesi geometria Hilbert-féle axiómarendszerét Kürschák [120] dolgozatában ismerteti.

A geometria háromféle alapfogalom (elem) rendszereiből indul ki: a pontok, az egyenesek és a síkok rendszereiből. A pontok, egyenesek és síkok között különböző vonatkozások vannak, amelyeket így fejezünk ki: rajta van, közte van, egybevágó, párhuzamos, folytonos. A matematika sem az elemeket, sem ezeket a vonatkozásokat nem definiálja, hanem pusztán azokkal az axiómákkal jellemzi, amelyeket reájuk nézve érvényeseknek tekint (vagy megkövetel).

Hilbert az ötféle vonatkozásnak megfelelően az axiómákat öt csoportba foglalta: I. az illeszkedés, II. a rendezés, III. egybevágóság, IV. a párhuzamosság és V. a folytonosság axiómái alkotják az egyes csoportokat.

Jól ismeri az olvasó a következő axiómákat:

1.1. Két különböző A és B pont egy és csak egy egyenest határoz meg (amelyen mindkettő rajta van).

IV. A síknak bármely u egyeneséhez a síknak bármely olyan A pontján keresztül, amely nincsen rajta u-n, legfeljebb egy olyan egyenes vonható, amely u-t nem metszi.

Mindkét axióma már Euklidesnél is megtalálható. Ezt a két axiómát azonban évszázadokon át nem tartották egyenrangúnak. Míg 1.1. a pont kiterjedésnélküliségéről és az egyenes egyirányú kiterjedéséről alkotott szemléletünket fejezi ki, addig IV-et nem tartjuk ilyen szemléletesnek.

Ezzel a problémával kapcsolatban térünk rá Kürschák Bolyai-geometriát ismertető cikkeire [115. és 122.].

A IV. axióma voltaképp a következő tétel megfordítása: ,,Ha a sík két egyenesét egy harmadik úgy metszi, hogy az ugyanazon oldalon fekvő belső szögek összege két derékszöggel egyenlő, akkor ama két egyenesnek nem lehet közös pontja.”

A IV. axióma pedig azt mondja ki, hogy e1\le2 csakis akkor következik be, ha aJrß= 180°. A IV. axiómát azért nem érezzük szemléletesnek, mert lehetetlen „ellenőrizni”, hogy mi a helyzet abban az esetben, ha oc-\-ß csak egy igen kis szöggel kisebb 180°-nál (1. ábra).

Már a görög klasszikusok törekedtek arra, hogy IV-et a geometria többi axiómájából levezessék. Azóta huszonkét évszázad számos ragyogó elméje — köztük Bolyai Farkas is — hiába fáradozott ezen.

Bolyai János érdeme, hogy volt merészsége elvetni az addig járhatatlannak bizonyult koncepciót, helyette merőben újat alkotni, volt képzelőtehetsége és kitartása merész elképzelésének kidolgozására.

Ha az e-re merőleges AB egyenest A körül éppen egy derékszöggel forgatjuk el, akkor a kapott AF egyenes nem metszheti e-t. Euklides rendszerében HE az egyetlen ilyen egyenes. A Bolvai-geometriában azonban AF-en kívül még más

254