Protestáns Tanügyi Szemle, 1943
1943 / 8. szám - Rapcsák András: A geometria axiomatikus tanítása a gimnáziumban
X84 Rapcsáh András.: A geometria axiomatikus tanítása a gimnáziumban. Mindig már régebbi, bebizonyított tételekre hivatkozunk, és ezeknek a segítségével igazoljuk az állításunkat. A régebbi tételek bebizonyításánál is így jártunk el. Ilyen módon tehát tételeknek egy sorát kapjuk, melyek mind egymásra épülnek. Ez nyilvánvalóan nem haladhat végtelenségig vissza, kellenek „első“ tételek. Ezeket az első tételeket már nem kell, de nem is tudjuk bebizonyítani, olyan egyszerűek. Meg is nevezhetjük őket, Euklides után ezeket postulátumoknak, vagy manapság axiómáknak, sarkigazságoknak nevezzük. Ezzel a fogással a tanulók fokozottan érdeklődnek az axiómák után, amelyek közül azokat, amelyeket a tárgyalásunknál felhasználunk, felírjuk a táblára, természetesen szemléltetve és az egyszerűségét hangsúlyozva. Azok az axiómák, amelyekre én gondolok, a következők : (Hilbert : Grundlagen der Geometrie alapján). 1. A és B pontokon keresztül csakis egy egyenest fektethetünk. 2. Az egyenes vonal mindkét irányban végtelenig húzható. 3. Ha egy egyenes két pontja egy síkban fekszik, az egész egyenes abban a síkban fekszik. 4. Három pont csakis egy síkhoz tartozik. 5. Ha két síknak egy közös pontja van, van még legalább egy közös pontja. (Két sík csak egy egyenesben metszheti egymást.) 6. Minden egyenes szakasz egyenlő önmagával. 7. Ha AB = CD és CD = DE, akkor AB = DE. 8. A paralella axióma. Nézetem szerint ezen nyolc axióma, sőt még kevesebb is feltétlenül elég ahhoz, hogy minden, a gimnáziumi geometria tanításánál előforduló tételt és értelmezést rájuk visszavezessünk. Mielőtt az axiómákból folyó egyszerű tételeket tárgyalnék, pihenésnek már itt alkalom kínálkozik az Euklides-féle geometria megemlítésére, és arra, hogy az ötödik postulátum nem olyan magától érthető, mint a többi, s ezt éppen azért be is akarták bizonyítani, azonban ez 2000 évig senkinek sem sikerült, s először Bolyai János magyar matematikusnak sikerült a problémát megoldani, s azt a geometriát máig is Bólyai-féle geometriának nevezik. Az axiómák felsorolásánál azokat egyenként behatóbban is tárgyalni kell, hogy a tanulók minél jobban átértsék és megjegyezzék. Sor kerülhet azután az axiómákból folyó egyszerű tételek tárgyalására. Hangsúlyozom, hogy ezt az aránylag nehéz részt nagyon felhígítva adjuk, különböző gyakorlati példákkal és bőséges szemléltetéssel. Az egyszerű tételek sorát megnyithatjuk azzal a tétellel, hogy két egyenes csakis egy pontban metszheti egymást. A bizonyításnál, amelyet még a jobb elégséges rendű tanuló is meg tud önállóan oldani, az 1. axióma fontossága is kiviláglik. A nélkül ugyanis két egyenes két pontban is metszhetné egymást, ami a tapasztalásunkkal is ellenkezik. Ezen a példán rá tudunk mutatni arra, hogyha az axiómákat felvettük, akkor minden egyéb segédfeltevés (pl. a szemlélet, tapasztalat) nélkül, csupán az axiómák alapján be tudjuk az
