Protestáns Tanügyi Szemle, 1933
1933 / 1. szám - Rédei László: A mennyiségtan középiskolai oktatásáról
14 PROTESTÁNS TANÜGYI SZEMLE esős már előbb megemlékezni az a x +bx +c=0 egyenletekről. Minthogy x valós, azért £=+3 és y=+4. A kérdezett négyzetgyök tehát +(3+4 i). Ezzel kapcsolatban megemlítem, hogy míg a negatív számból való négyzetgyökvonáshoz és egyáltalán a másodfokú egyenlet megoldásához szükséges a komplex szám, addig a komplex számokon végzendő műveletek (gyökvonás és egyenletmegoldás) már nem vezetnek újabb számokra (a komplex számok összessége algebrai értelemben zárt tartomány), azért a számkör kibővítését be is fejeztük. 3. Levezetem az x3+p x+q=0 egyenletre vonatkozó Cardan- féle képzetet. Mégpedig legcélszerűbben talán erre concludálok : 3 _______________________________ x =u+v, ahol h = -<y+(-|)2+(-|)3 v = — ^ 4. Kitűzöm a következő feladatot: Meghatározandó egy oly négyzetes oszlop, melynek felülete 30 m2, térfogata 11 m3. Ha egy alap-, ill. oldalél x és y, akkor 2a:2+4x i/=30, x2y = 11. Kiküszö3_________________3__________________ bö léssel x3—15x+22=0. A 3. alatti u=^—ll + \AZl4=y~— 11.+2Í. Itt hivatkozom arra, hogy amint látták a tanulók a négyzetgyökvonást komplex számból, ugyancsak kidolgozható az eljárás a köbgyökvonásra is (igaz, hogy ehhez a Moivre-képlet s a szögfüggvények ismerete kell — casus irreducibilis ! — de erről nem helyes említést tennem), ami azonban valamivel (?) bonyolultabb eljárás lévén és mivel most nem akarunk sok időt eltölteni ezzel a részlettel, inkább megmondom, hogy az előbbi köbgyök (egyik) értéke 1—2 i (természetesen ellenőriztetem az (1—-2i)3 =—11+2 i helyességét. Így u egyik értéke 1^=1—2 i és könnyű számítással ux=í+2 i a v megfelelő értéke. A továbbiak (az 1. miatt) u2=ui a> li3=ui ß> y2=vx vz=v1 a (tanácsos ehhez előbb megmutatni, hogy a (3=1) és így egyszerű számítással: x1=2, x2=—l+2\^3, xs=-—1—2\+3~ (az utolsó nem szolgáltat megoldást x3<^0 miatt) s a megfelelő y értékek : yx= ^ (az x2y=11 egyenletből). így két megoldást nyertünk (2 tizedes pontossággal) x=2, y=2'75, vagy :r=2-46, í/=181. Mindezekhez megjegyezhető, hogy nemcsak sikerült a megoldás a komplex számok segítségülvételével, hanem bebizonyított dolog, hogy a harmadfokú egyenlet, épp három valós gyök esetében (algebrai úton) nem is oldható meg komplex számok nélkül. Kiélezendő tehát épp az, hogy egy ily, aránylag egyszerű feladat megoldásához is (amely feladat már a második osztályos tanuló számára megfogalmazható) csupán komplex számokon keresztül nyerhető, holott a megoldás maga valós szám. Végül megvizsgálva, vájjon a nyert megoldások eleget tesznek-e az eredeti követelésnek, látja a tanuló, hogy a komplex számokban éppúgy megbízhatik, mint a valós számokban.
