A Pécsi Állami Főreáliskola Értesítője az 1905-1906. tanévről
- 50 szorosai között olyan, melylyel az a szám vagy egybeesik, vagy pedig nála nagyobb, de a következő sokszorosnál már kisebb Ha b=l, akkor az a a A sokszorosainak valamelyike, mert ekkor b sokszorosainak sorozata maga a számsor; ezen esetet kizárjuk, mert semmi különöset nem mond. Ha b>l, van olyan h szám, hogy bh^ a<^ b(h-f-l), mert a bármilyen nagy is legyen, b-nek van oly sokszorosa, mely a nál nagyobb; mivel b nek 0-szorosa a-nál kisebb, vagy vele egyenlő (ha a=0 , ilyen h szám okvetetlenül van (ezen h esetleg 0 is lehet; a b-nél kisebb számokra h=0). Mivel bh<,a, a-ból bh-t ki lehet vonni; a különbséget m jelölje meg; ezen m vagy nulla, vagy nullától különböző, de b-nél kisebb. Ha bh=a, az m nulla; ha m=0, a=bh ; ha pedig m>0, akkor mindenesetre <da, mert ha ~>b volna, az a—bh - m, mindkét oldalából b-t kivonva, a— b(h-fl) = m— b különbség vagy pozitív, vagy nulla, ami azt mondaná ki, hogy b(h-f-l), s ez ellenkezik az a< b(h+l) feltétellel. Azt találtuk tehát, hogy ha b nem nulla, mindig van olyan h, hogy a — bh = m lehessen, a hol m nulla, vagy b-nél kisebb szám. Ha b=l m=0, s a nyert egyenletünk csupán azt mondja ki, hogy a a természetes számsor valamelyik tagja. Ha a<^b, akkor h=0 s a maga a maradékkal összeesik. A b szám azt mutatja, hogy az a számból a b-1 hányszor lehet kivonni. JJz ismételt kivonást mérésnek, a lehetséges kivonások számát jellemző számot a és b hányadosának, s a lehetségig végrehajtott ismételt kivonás (mérés) után fennmaradt m számot a mérés maradékának, vagy osztási maradéknak nevezzük. E szerint a és b két teszőleges szám, s b=0 lévén, van oly h, hogy a—bh = m m<"b a=bh -j- m m<^b lehessen. A h számot véges számú próbálgatással lehet meghatározni (.ismételt kivonással). Ha b nulla, az egész fejtegetésnek nincs semmi értelme, mert nullának bármely sokszorosa nulla lévén, az a szám, hacsak maga nem nulla, nem szorítható b nek két sokszorosa közé. Lényeges tehát, hogy b 0 legyen. Még megjegyezzük, hogy ka — kb • h = km és km<^kb lévén, állítható, hogy ka és kb hányadosa ugyanaz, mint a és b hányadosa.
