A Pécsi Állami Főreáliskola Értesítője az 1905-1906. tanévről

— 32 —

tehát két egymásután végzendő osztás fordított sorrendben is végezhető. Ha végül az

hányados osztandóját s osztóját c-vel szorozzuk, ami a 3) értelmében értékén

clC

nem változtat, — -be megy át, tehát

ha tehát az osztót (b) c-vel osztjuk (feltéve, hogy lehet), akkor a hányados c-vel szorzódik ' úgy is járhatunk el, hogy az 5) baloldalán ac-t és b-t c-vel elosztjuk).

Ezen tételek emlékeztetnek a kivonás és összeadás tételeire. Valóban ezek nem egyebek, mint egyszerű logikai következményei annak, hogy a kivonás az összeadásnak, az osztás pedig a szorzásnak fordított művelete s hogy az összeadás és szorzás commutativ és associativ művelet. Bárminő műveletet gondoljunk el, mely commutativ, associativ és melynek megfordított művelete egy eredményhez vezet (pl. két számnak egy különbsége, egy hányadosa van, tehát az összeadás és szorzás megfordított műveletei „egyértékű“ műveletek, de pl. a négyzetgyökvonás kétértékű): e műveletre a mostan s a kivonásnál alkalmazott okoskodással ugyanazon képleteket vezethetjük le. Még megjegyezzük azt is, hogy a kivonásnál nem az

egyenletből s ebből nyertük az alapegyenletet. Ez azért történt így, mert a kivonást nem az összeadás megfordított műveleteként értelmeztük, hanem recursiv képlet segélyével, mint önálló műveletet. Ezen önálló műveletről ki tudtuk deríteni, hogy az összeadás hatását lerontja ; ezen utat azért követtük, mert szembeötlően feltüntette hogy mikor lehet a kivonást elvégezni s hány eredményre vezet.

A hányadosok összeadásának és szorzásának szabályait fogjuk levezetni. Az

a

b : c

s ennélfogva

(a—b) +b — a

alaptulajdonságból indultunk ki, hanem az

(a-(-b) — b = a

a b

+

c — c

számot c-vel megszorozván, a ± b származik,

tehát ± az a ± b-nek és c-nek hányadosa :

a b a ± b

9).

C — C c

/