A Pécsi Állami Főreáliskola Értesítője az 1897-98. tanévről

Vidor Salamon: Az ellypsis karakteristikus körének tárgyalása és a másodosztályú görbék tengelyeinek szerkesztése

— 37

pontjában megvonjuk az érintőket, ezek rendszerint rhomboidot alkotnak, melyet érintő rhomboidnak nevezünk. A tengelyek azon specziális conjligáit átmérők, melyeknek érintői oblongumot képeznek.

A conjugált átmérők a nagy tengelylyel a illetve ß szöget zárnak be (12. ábra), a-f-ß+y=90'; ha a = 0, akkor ß = 90° és y = 0; ha most a folytonosan nagyobbodik, akkor ß rohamosabban, de folytonosan kisebbedik, egyetlenegyszer beáll tehát az az eset, hogy a = ß (ekkor y elérte maximumát), és ekkor a conjugált átmérők symmetrikusak és egyenlő hosszúak; az ezekhez tartozó érintő-négyszög rhombus. Ha a még tovább növekszik, akkor ß továbbra is, de lassabban kisebbedik; végül ha a = 90°, akkor ß = 0 és y —0.

XIII. Az ellypsis érintő rhomboidja állandó területű

és egyenlő az ellypsis érintő oblongumának területével.

Bebizonyítás. A körre vonatkozó ismeretes tétel szerint (2. ábra) OCiXOK=OmXOn;

legyen OB = al és 0 Ct=-- &i és vegyük tekintetbe, hogy

Om— a, On = b és OK=OB cos y == cos y, egyenletünk a következőbe megy át:

ai bt cos y = a b ; de cos y = sin w (VIII.), tehát

12)

..................4 ai őj sin w — 4 a b = T,

a mi bebizonyítandó volt.

p)..................Megszerkesztendő az ellypsis érintő rhombusa. A jellemz

ő körben m n fölött szerkeszthető oblongumok között (2. ábra) található egy négyzet is, ennek conjugált pontjai az ellypsis középpontjától egyenlő távolságban vannak, azaz: ebben a különös esetben 0 fí = O Ci, a = ß és 01_\_BCi; ezek azon conjugált átmérők, melyekhez érintő rhombus tartozik. Szerkeszszünk tehát (11. ábra) egy tetszésszerinti jellemző kört, vonjunk ennek középpontján át merőlegest 01-re, nyerjük P, és Qi conjugált pontokat és OP\ — OQi conjugált átmérőket; forgassuk OPi—OQi-et OP és OQ helyzetbe azáltal, hogy lemérjük POH-$C = QOH-$Z = 0 P\ / -); = a = ß, megkaptuk tehát a conjugált, symmetrikus és egyenlő hosszú átmérőket. A rhombus szerkesztését az ábra mutatja.

Ha a jellemző kört úgy választjuk, hogy in 0 S = 4.7° legyen, akkor 0 Qi tényleges helyzetében van; látjuk ugyanis (2. ábra), hogy a + ß + y = 90°, a symmetrikus és conjugált átmérőkre nézve pedig áll, hogy

m O B <£ = m 0 és a = ß,

Y

miből következik, hogy a+-i- = 45°.