A Pécsi Magyar Királyi Állami Főreáliskola Értesítője az 1889/90. tanévről

Maksay Zsigmond: Az algebrailag megoldható egyenletek gyökeinek szerkesztése másodrendű görbe vonalokkal

()

A kijelölt sokszorozást végrehajtva:

z2 4- (a+x—y) z + ax—xy o ered, mely ha az adott egyenlettel egyidejűleg megáll:

x — y = o . . . . 1. és ax — xy = b . . . . 2.

kell, hogy legyen. Az első egyenlet a eoordinata tengelyek mindegyikével^ szöget képező és a kezdő ponton átmenő egyenest, a másod'k egyenlő oldalú hyperbolát ad. Az 1. és 2. egyenletekből az adottnak még más alakú componenseit is kifejthetjük, melyek lesznek:

x2 -t- y2 — 2ax -+- 2b = o.......................................................3.

y2 — ax + b = o.......................................................................4.

x2 — ay + b = o.......................................................................5.

A harmadik egyenlet kört, 4 az x, 5 az y tengelyre symmetrikus helyzetű parabolát ad. Ez egyenletek bármelyik párja vehető az adott egyenlet componenseiül s közös pontjaik coordinatai bármelyike a gyökök meghatározására szolgálhat.

Lehetett volna, sőt czélszerübb is az adott egyenletet ez esetben úgy bontani tényezőkre, hogy :

F (z) — (z+x) (z—y) tétessék, midőn componens egyenletekül:

x — y — a. . . . . 1 a. és xy = — b

....................2a.

e

rednek, melyek combinatiója által :

x2 + ya = a1 — 2b ..............................................................3a.

x + y = + j/"a‘ — 4b ...................................................4.

e

gyenletek nyerhetők, mint legfontosabbak. A szerkesztésben legczél- szerübb la-nak 3a, vagy 4-gyel alkalmazott combinatiója.

Látni való, hogy mig az J, la; 2, 2a egyenletek által adott vonalak mindig szerkeszthetők, valamint a parabolák is, addig a körök, illetőleg az előbbi 4 egyenlet által adott egyenesek csak az esetben, ha a coeíficiensek bizonyos föltételnek megfelelnek. Például a 3a által jelentett kör a’ — 2b <; 0 esetében, a 4 által adott egyenesek, ha a2 — 4b < 0, képtelenek, a mi complex gyökökre mutat.

Az adott egyenlet gyökeinek vizsgálata e szerint a componensek által jelentett görbék lehetősége, illetőleg kölcsönös helyzete megbeszélésével vág egybe. E tekintetben az algebrai elemzésben nyert és ismert eredményekkel minden tekintetben egybevágó ismeretekhez jutunk s mig a2 — 2b < 0, tehát annyival inkább a5 — 4b < 0 a gyökök complex voltát bizonyítja, addig a2 — 4b = 0, mely tudvalevőleg az adott egyenlet discriminansa, a két gyök egyenlősége mellett tanúskodik. Ez utolsó feltétel szerint ugyanis az la által adott egyenes a kört (3a) érinti, mig a 4-ben adott egyenesek összeesnek, a kezdő, ponton mennek keresztül s a la-nak a tengelyek közti darabját felezik, mely felező pont ordinátája a kettős gyököt adja meg.