A Pécsi Magyar Királyi Állami Főreáliskola Értesítője az 1889/90. tanévről

Maksay Zsigmond: Az algebrailag megoldható egyenletek gyökeinek szerkesztése másodrendű görbe vonalokkal

Miként függenek össze a valós . gyökök absolut és relativ érték tekintetében az adott egyenlet coelficienseivel, e dolgok az algebrai •elemzésből eléggé ismertek s a tárgyalt alapon is teljesen kiderithetők.

B)

A harmadfokú egyenlet.

Legyen a harmadfokú egyenlet ez alakban adva: z3+az24-bzFe =o.

Tényezőkre bontva:

F (z) — (z2-+-yz-t-x) (z—y-t-a).

A sokszorozási végrehajtva :

F (z) — z3 + az5 -t- (x—ys+ay) z + ax — xy = o, ha z = y — a.

Az adott egyenletet a kifejtett eredménynyel összehasonlítva, ezek ’egyidejű fennállása követeli, hogy:

ys — ay — x -t- b = 0

.............................................................1.

é

s xy — ax + c = 0..................................................................2.

legyen. Az 1. parabolát, 2. egyenlő oldalú hyperbolát jelent, melyek közös pontjainak ordinátái kisebbítve »a<-val, az adott egyenlet gyökeit

szolgáltatják.

1. és 2. combinálásából erednek még:

x' — 6x -t- cy =' 0..................................................................3.

x* -i- y2 — (b-t-1) x — (a—a) y b =: 0..........................4.

x2 — y* — (b—1) x -+- (a + c) y — b = 0..........................5.

melyekhez még az ellipsis egyenlete is csatolható volna 1. és B-ból egy tetszés szerint választott állandó segítségével.

A kifejtett egyenletek páranként combinálva mind az adott egyenlet componenseiül tekinthetők és bármely kettő által jelentett görbék közös pontjainak ordinátái >a«-val kisebbítve, az adott egnenlet gyökeit adják.

A szerkesztésre legczélszerübb a kör egyenletét combinálni valamelyik parabolával, mint a melyek eléggé könnyen és gyorsan szerkeszthetők. E végre egyébiránt elég a parabola néhány pontjának szerkesztése, t. i. melyek a metszés-pont szomszédságában feküsznek, melyek kevés gyakorlat folytán azonnal felismerhetők. A következőkben a gyökök vizsgálata tekintetéből az 1. és 4. egyenleteket e normalis alakban fogom használni:

K = (x -bt1)2+ (y = o

P f aV— x — a*—— ()

V • 2) x 4 ’ mely egyenletekből a

kör középpontjának coordinatái, a küllő, a parabola esnesa coordinatái és a parameter ismertek lévén, a görbék bármely módon szerkeszthetők.