A Pécsi Magyar Királyi Állami Főreáliskola Értesítője az 1889/90. tanévről

Maksay Zsigmond: Az algebrailag megoldható egyenletek gyökeinek szerkesztése másodrendű görbe vonalokkal

coordinata rendszer átalakítást is kellene alkalmaznunk s igy czél- szerübb lesz a reducált alakot használnunk, mely legyen: z4 4 az2 4 bz + c = 0.

Tényezőkre bontva:

F (z) = (z* + yz2 + xz+v) (z—y), mely egyenlet jobb oldal i megsemmisülésére szükséges és elegendő, hogy: z = y legyen.

Végrehajtva a kijelölt sokszorozási:

z4 + (x—y2) z2 4 (v—xv) z—vy = 0.

De ez egyenlet az adottal egyidejűleg csak úgy állhat meg, ha y2 = x — a . ...............................1, és xy2 4- by = — e. 2„

1

. és 2. combinálásából nyerjük :

x2 — ax 4 by 4 c = 0....................,...................................3.

1

. és 3, összeadása által:

x2 + y2 — (a41) x 4 by + a 4- e = 0....................................4.

kivonása által :

x2 — y4 — (a—1) x + by 4- c — a = 0..............................5.

A

z ellipsis egyenlete egy tetszés szerint választott állandó segítségével szintén kifejthető.

A kifejtett egyenletek, 2 kivételével, mindannyian másodrendű görbéket jelentenek, nevezetesen 1 és 3 parabolát, 4 kört, 5 egyenlő oldalú hynerbolát. Bármelyik kettőt tekintjük is az adott egyenlet componenseiül, a közös pontok ordinátái a kívánt gyököket határozzák meg. Legc/élszerübb itt is, mint elébb, szerkesztési czélokra a kör és parabola egyenletét választani és azokat normalis alakjokra hozva alkalmazni igy:

K - (x- !±i)*+(y+. >.)*- (I=i)l+.tzi2 = «. f = js — x + a = 0.

A kör egyenletét vizsgálva, azonnal kitűnik, hogy bármilyen je- lüek legyenek is »a« és >b«, a mig (a—l)2 -t- b2 — 4c < 0 a kör lehetetlen, tehát valamennyi gyök complex. A parabola mindig lehetséges s igy föltéve, hogy a kör is az, a gyökök milyenségét vizsgálva, azt kell kimutatnunk: mily esetekben van e kör középpontjának a parabola kerületétől mért távolságára nézve maximum vagy minimum. Ha »y»-nak nincs oly értéke, mely az említett távolságot minimummá teszi, valós gyökökről szó sem lehet, mert a görbék ez esetben nem metszhetik egymást. Sőt minimum esetében is megtörténhetik, hogy mindannyi gyök complex és pedig az esetben, ha a kör középpontja a parabola területén kivül esik. Legyen tehát :