A Pécsi Magyar Királyi Állami Főreáliskola Értesítője az 1889/90. tanévről
Maksay Zsigmond: Az algebrailag megoldható egyenletek gyökeinek szerkesztése másodrendű görbe vonalokkal
— 10 — Az első és a harmadik érték o-t minimummá a második maximummá teszi. Minthogy azonban = a az adott egyenletnek is megfelel, tehát, két metszéspont b = a esetében összeesik, vagyis az adott egyenletnek két egyenlő gyöke van: z, — z3 = a és zt = — 2a. Nevezetes, hogy a görbék ez esetben yt = a pontban érintkezvén •e kettős pont a parabolának y r- — 2a által adott pontja és a kör középpontjának az x tengelyen való projectioja egy egyenesben feküsz- nek. E három pont coordinatai ugyanis: (—2a, a), (a, — 2a), (—a, o) .által vannak adva s mint könnyen meggyőződhetni: 1, —2a a 1, a, —2a — o. 1, —a, 0 a mi a mondottak valósága mellett bizonyit. Ha a discriminans negativ és b< a az A. egyenlet egy gyöke sem tesz eleget az adott egyenletnek, de annak mindhárom gyöke valós s egymástól különböző, mert a görbék két metszés pontja ez esetben nem esketik össze. Az A. egyenletnek nem lehet két egyenlő gyöke, ha a harmadfokú egyenlet redukált alakban vau adva, mert ez három egyenlő gyököt tételezne föl, a mi képtelenség, de a teljes harmadfokú egyenletnél a gyökök egyenlőségét' bizonyítaná. Miként függenek a gyökök jelei »b«-tői, azt a kör középpontjának fekvéséből mindig el lehet dönteni, mely ha az x tengely alatt van, az egy valós gyök mindig negativ, három valós gyök esetében pedig egy negatív, kettő positiv. Ellenkező esetben megfordítva. Minthogy a különálló gyök mindig a két görbe előre meghatározható metszéspontjának ordinátájával kapcsolatos, mondhatni, hogy a harmadfokú egyenlet egy jelű gyökei mindig egy másodfokú egyenlet gyökpárját képezik s a különálló gyök oly másodfokú egyenlethez tartozik, melynek egyik gyöke zérus. Az eddigiekből az is kitűnik, hogy a harmadfokú egyenlet a negyedfokaval szoros összefüggésben van és mint a későbbiekből meglátjuk, a negyedfoku egyenlet gyökei szerkesztésére ugyanazok a görbék szolgálnak, melyekről az előzőkben beszélőnk s csak kölcsönös fekvésük más, a mennyiben általában nincs az x tengelyben közös pontjuk, sem általában előre meghatározható metszéspontjuk, minélfogva a gyökpárok mindkettője lehet complex is. C) A negyedfoku egyenlet. Ha a negyedfoku egyenletnek teljes alakját használjuk a tényezőkre bontásnál, az eredő egyenletek kellő áttekinthetősége végett
