Református teológiai akadémia és gimnázium, Pápa, 1926

III. A párhuzamosok axiómájának szerepe a geometriában. Székfoglaló értekezés. Irta Moravecz Károly gimn. tanár

— 29 — tartozó görbülete a két főgörbület. A két főgörbületnek a szorzata adja meg a felület görbületének mértékét a P pontban. A görbület szempontjából a felületek három csoportra oszlanak: pozitív görbületü felületek, pl. a gömb, ellypsoid stb.; nulla görbületü felületek, pl. a sík, henger stb. és negativ görbületü felületek, pl. a- hyperboloidok. A hyperboloid azért negativ görbületü, mert a maximális és minimális görbületnek megfelelő görbületi sugarak ellenkező irányúak lévén, előjelben különböznek s így reciprok értéküknek szorzata, mely a felület görbülete, bizonyosan negativ. Ahogy a síkon tudunk geometriát megállapítani, épen úgy más felületen is lehet kétdimenziós geometriai rendszert felépíteni s ebben Gaussnak van legnagyobb érdeme. Vezessük be e célból a geodetikus görbület és annak alapján a geodetikus vonalak fogalmát. Ha egy felület P pontjához tartozó érintősíkjára ráprojiciálom a felületen fekvő s a felület P pontján keresztülmenő „g" térgörbét, kapok az érintősikon egy ,,g'" sikgörbét. Ezen sikgörbének a P ponthoz tartozó görbületét nevezzük a „g" görbe geodetikus görbületének. A felületen fekvő olyan görbe, melynek geodetikus görbülete 0, geodetikus vonal. A sikon az egyenesnek van meg ez a tulajdonsága, ennélfogva a sik geodetikus vonalai az egyenesek. A geodetikus vonalak tehát a felületen ugyanolyan szerepet játszanak, mint az egyenesek a sikon. Pl.: Két pont legrövidebb távolsága a sikon a két pontot összekötő egyenesdarab hossza, a felületen pedig a két pontot összekötő geodetikus vonaldarab hossza. Ki lehet mutatni a következő tételeket: A felület minden pontján végtelen sok és pedig egyszeresen végtelen sok geodetikus vonal halad át. Két ponton keresztül általánosságban csak egy geodetikus vonal megy át. A felületen fekvő háromszögek a geodetikus háromszögek, amelyeket a sikháromszögek analógiájára a következőképen definiálhatunk: A felületen fekvő olyan idomot, melyet három geodetikus görbe bezár, geodetikus háromszögnek nevezzük. Vizsgáljuk a XI. axiómát a O-tól különböző görbületü felületeken. Ez a következőképen hangzanék. Ha két adott geodetikus vonalat egy harmadik metsz, akkor azok a metszőnek azon az oldalán találkoznak, amelyen a belső szögek összege kisebb 2 R-nél. Azonban, ha pl.: a legismertebb felületre, a gömfelületre gondolunk, azonnal látjuk, hogy ezen axióma itt nem érvényes. Az egyenlítő és két délkör olyan geodetikus vonalak, amelyeknél a belső szögek összege egyik oldalon sem kisebb 2 R-nél, mégis mind a két oldalon metszik egymást a délkörök. Ebből következik, hogy a gömbnél a háromszög szögeinek összege sem lehet egyenlő 2 R-rel, hanem annál nagyobb. Két olyan geodetikus vonalat, amelyek nem metszenék egymást, nem lehet vonni. Az ezen tételekkel analog tételeket megtalálhatjuk a Riemann-féle térgeometriában is. Ha viszont egy negativ görbületü felületet, pl. egy hyperboloidot vizsgálok, akkor a Bolyai-féle geometriai tételekkel analóg eredményekre jutok. A negativ görbületü felületeken adott geodetikus vonalhoz, adott ponton át