Kegyes tanítórendi katolikus gimnázium, Nagykároly, 1877

10

látható, hogy e szorzatok mind m osztóit képezik és ezek összege pedig nem lehet más, mint ezen soroknak:

1 -f- a + a2.. .. a 1 + b + b2.. .. bs

у

1 -|- c -j- e2.... c stb. szorzata.

Ezek azonban mértani haladványt képezvén összegük

a—1 ’ b—í ’ с—1 ’

És igy az osztók összege ez utóbbi képletek szorzata lesz

s

Г+ 1

a —

1

a—1

bs + 1—1 b—f

c—1

pl. 220=23. 4.5. S = = 15.4.6 = 360.

32—1 52—1

~2 ' ~HT

Az osztókra nézve még megjegyezzük, hogy tökéletes (perfectus) azon szám, mely kivéve önnönmagát osztóinak összegével egyenlő. — Az eddig ismert tökéletes számokat adja a képlet: (2х—1) 2x-1>a hol feltételeztetik, hogy 2X—1= egy törzsszámmal.

így pl. 22—1 = 3; 2,i;—1 7; 25—1 = 31 stb. 3, 7,

31, mindnyájan törzsszámok és igy a tökéletes számok : (22—1) 22“1 = 6; (23—1) 23-1 - 28; (25—1) l5“1 496. — Az

osztók öszszege pedig 1 -J- 2 -J— 3 = 6; 1 -)- 2 -(— 4 —(— 7 -|— 14= 28; 1 —|— 2 —}— 4 —f— 8 —(— 16 —31 —)— 62 —(— 124 -)- 248 = 496. Oka ennek az, hogy ha 2X-1 törzsszám, akkor ezen szorzat (2X-1) 2X_1 valamennyi osztójának összege = (1 -f- 2X—1)

(1 -j- 2 + 22... . -f 2х-1) = 2х (2х—1) = 2 (2х—1) 2х"1;

és igy (2x'1)-uek kizárása után mindig ugyanazon összeget kell kapnunk.

Két szám amicabilisnek neveztetik, ha osztóik összege a szám kizárásával egymással egyenlő. Így pl. 220 .. = 22. 5. 1 1 ; az osztók összege

23

__i

______ i

1

284

22

П2—1 10

504

71—

504.

A számelméletben az 1, 2, 3, 4.........m számsorozatban az

m-re nézve viszonylagos törzsszámokat f (m) jellel szokták jelelni,