Református gimnázium, Miskolc, 1903

Általánosságban tekintve a dolgot, úgy a matematikára, mint minden tudományra nézve életkérdés, hogy végső fundamentumai feltétlenül tökéletesek és biztosak legyenek. * Jelen értekezésemben megkísérlem, hogy azon tanítványaim számára, kiket hajlamaik a középiskola keretén kívül a mennyiségtan továbbművelésére utalják, az eddie: tanultaknak magasabb szempontból való figyelembevételével a felsőbb matematika tanulásához néhány alapgondolatot terjeszszek elő, melyek a további studium útját egyengetik és a középiskolai mennyiségtant az egyetem tudoraányos felsőbb matematikájával igyekeznek összekapcsolni. I. A számtartomány fokozatos kibővítése. A számoknak legegyszerűbb és a tapasztalat adta sokaságát a közönséges egész számok sora — tartománya — alkotja. Ez a tartomány képezi azt a természetes anyagot, melynek vállain az általános a gebra kifejlődik Az algebrának két főfeladata van. Az első a száminííveletek általánosítása; a második az egyenletek megfejtése S bárha ez a két feladat bizonyos körülmények és szempontok tekintetbevételével ölelkezik is, a megkülönböztetést — hacsak pedagógiai indoknál fogva is — meg kell tennünk. Az első feladat: a szâmmûvëletek általánosítása oly módon történik, hogy bizonyos követeléseket állítunk fel. Ha ugyanis azt kívánjuk. hogy a 2 — 3 követelésnek legyen értelme, amely körülmény az algebrát a közönséges, numerikus számtan keretéből kiemeli, akkor a negatív számot kell bevezetnünk, melynek realitását a gyakorlati élet is nemcsak hogy elismeri, hanem bizonyos attribútumokkal való felruházással tényleg használja is. A szokásos és közismeretes példaképen felhozott vagyon és adósság — a hőmérő zéruspontja felett és alatt jelzett hőmérséki fokok — Krisztus születése előtt, és után letűnt időszakok az attribútumok elhagyásával csak akkor fejezhetők ki matematikailag pontosan, ha a negatív számokat bevezetjük. Ha a és b természetes számok képviselői és a >• b. akkor az a—b követelés mindenkor teljesíthető s melyet ismét valamely, a természetes számok tartományába tartozó c szám elégít ki. Ha ellenben az a b, akkor a fentebbi követelés csak új számoknak, a zérusnak és a negatív számoknak bevezetése mellett lehetséges. Hogy eme számok bevezetésének van jogosultsága, onnan tűnik ki, hogy vannak a gyakorlati világban olyan szubsztrátumok, melyeknek e számok tulajdonságát képezik. Ebből a tényből könnyen vonható az a következtetés, hogy bárminő definícióval megállapított szám életképes, mihelyt megfelelő szubsztrátumot tudunk számára találni. A zérus és a negatív számok bevezetésével a kivonás műveletét általánosítottuk, bárminő természetes számot jelentsen is az a és b. Ezzel egyszersmind alapszáinsoka-