Református gimnázium, Miskolc, 1903
ságunkat a negatív számok tartományával bővítettük ki, ahol a zérus a két számsor szimmetrikus középpontjában van. A negatív számok bevezetése azonban csak az első lépést képezi abban az általánosításban, melyet az algebra maga elé tűz ; már a szorzás megfordításánál, az osztás műveletében a racionális számok lépnek előtérbe, ha azt akarjuk, hogy az oszlás (a zérusnak mint osztónak kizárásával) minden esetben végezhető legyen. Megjegyezzük közbevetőleg e helyen, hogy a később említendő direkt számdefinició mellett, általánosabb számokat mindenkor a műveletek meglordítása révén, az u. n. inverzműveletek felállításával és alkalmazásával teremtünk, amely körülmény — az inverzió — nemcsak az új számok keletkezését jellemzi, de a felsőbb, infinitézimális mennyiségtan előrehaladó munkájának is egyik leghathatósabb módszere. Az osztás bezárulása után újabb számok bevezetésének szüksége a hatványozás egyik inverz művelete révén merül fel. S igen jellemző, hogy a négyzetgyökkivonás kétféle, egymástól lényegesen különböző számsorhoz vezet : az irracionális és az imaginárius számok sorához. Ha ugyanis A pozitív egész szám, akkor néhány kivételes eset mellőzésével, mikor t. i. A teljes négyzet, — \ ^ nem lehet racionális szám, következésképen Y A egy ÚJ szamnak, az irracionális számnak szimbóluma. Ha pedig A negatív, akkor | A első pillanatra képtelen követelés, melynek képtelen voltát csakis a képzetes egységnek a már meglevő számtartományhoz való adjunkciója által oszlathatjuk el. Az elmondottakból belátható, hogy a negatív és racionális számok sorát azért kell bevezetnünk, hogy a kivonást, illetőleg az osztást eltudjuk végezni akkor is, ha a kisebbítendő kisebb, mint a kivonandó és az osztandó nem többszöröse az osztónak. Az irracionális és imaginárius számsort a hatványozás egyik megfordítása szülte * Azonban a dolgot még más oldalról is figyelembe vehetjük. Ugyanis az ax -j- b — c elsőfokú egyenletet, ahol a, b és c természetes egész számok, a negatív és racionális számok felvételével mindenkor megtudjuk fejteni, ami más szóval azt jelenti, hogy az ilyen fajú elsőfokú egyenletek az összes egész és racionális számokat definiáljuk. Ebből az egyenletbői könnyen kiolvasható az is, hogy a kivonás az összeadás és az osztás inverz művelete. Továbbá mondhatjuk, hogy az irracionális, az imaginárius és az általánosabb jellegű komplex számok a másodfokú egyenletek megfejtésénél lépnek fel. Az x- — 2 = 0 egyenlet irracionális számhoz vezet; az .V" —J— 1=0 egyenlet megfej the tősége az imaginárius egység bevezetését követeli; az X s -f- X -f- 1 = 0 egyenlet gyökei pedig már komplex számok és olyanok, melyek csakis az imaginárius tagelőjelében különböznek egymástól, amiért is ezeket konjugáltaknak nevezzük. A számtartománynak egyenletek segítségével való definiálása képezi azt a legközelebbi gondolatot, melynek tartalma a középiskolai tanítási anyag keretébe vág ugyan, de szelleme már a felsőbb menynyiségtané. Megemlítjük még, hogy a legáltalánosabb számtartomány a komplex számok tartománya, melyben a számműveletek kivétel nélkül, egységesen végezhetők.
