Református gimnázium, Miskolc, 1903

— 25 -Általánosságban a különböző rangú végteleneket az a körülmény karakterizálja, hogy a változónak a végtelen felé való közeledési sebessége különböző. Ha az ',','„ függvényeket vesszük figyelembe, hol x < 1 és V .Y -V xlim .y=0, akkor a függvényeknek a végtelen felé való közeledési módjáról fogalmat alkothatunk A függvényvonatkozások megérthetőségébe és a függvénytani tárgyalásokba általában mélyen belenyúl a geometria — az a szubsztratum, mely pl. a függvények folytonosságára vonatkozó fejtegetéseket a szemlélet erejénél fogva igen megkönnyíti A szemléletnek ezt a pedagógiailag is igen fontos elvét valósítja meg a függvények grafikai ábrázolása A grafikai ábrázolást a koordináta rendszerek teszik lehetővé, melyek a felsőbb mennyiségtanban szép számmal vannak. E helyen azonban csak az u 11 (már a középiskolából ismert( derékszögű koordinátarendszert említjük, melynek felfedezője s evvel együtt a koordinátamódszer és az analitikai geometria megalapítója Descartes a lángeszű filozófus és matematikus. A síknak eme rendszerét két, egymást a koordináta rendszer kezdő pontjában derékszög alatt metsző egyenes alkotja. 11a legszűkebb értelemben egy reális változóról van szó, akkor a grafikai előállítás úgy történik, hogy a hosszegység megállapítása után a független változó értékeit az abszcissza — és a hozzátartozó függvényértékeket az ordinátatengelyen rakjuk fel és a mindenkori abszcisszáknak megfelelő ordináták végpontjai képezik a függvény grafikai menetének geometriai helvét. Az analitikai geometria legelső elemeiből ismeretes, hogy az egy változós elsőfokú egész függvény képe egyenes vonal, a másodfokú függvényekét pedig a kúpszeleteknek nevezett másodrendű görbék képezik A felsőbb mennyiségtan a változónak, a függvénynek a függvény folytonosságának pontos kifejtése után a változás módját veszi vizsgálat alá. Hogy ezt az eljárást legegyszerűbb alakjában bemutathassuk, induljunk ki a következő geometriai példából : Vegyük tekintetbe a kört, melyet a szelő P és Q pontokban metsz. Ha e pontok közül az egyiket P—t állandó helyzetűnek tételezzük fel s a szelőt ezen pont körül forgatjuk, akkor Q folytonosan közeledik P felé, míg végre a két pont összeesik. A szemlélet azt mutatja, hogy ekkor a szelő érintővé válik Szemben az elemi geometriából ismeretes azon megállapítással, hogy a körnek és érintőjének egy közös ponjta van, ugyancsak ennek az érintőnek a most bemutatott sz írmaztatási módja a körre nézve azt az érintődefiniciót hozza létre, hogy az érintő az az egyenes vonal, mely a kört két összeeső pontban metszi. Megjegyezzük itt, hogy az érintkezésnek ez a legelemibb esete. Ha a viszonyokat derékszögű koordinátarendszerre vonatkoztatjuk, azt tapasztaljuk, hogy ama folyamat közben, mialatt Q pont P-hez közeledik és végre vele egybeesik, az a szög, melyet a szelő az abszcissza tengelylyel képez, folytonosan változik és akkor, midőn a szelő az érintő határhelyzetébejut, szemmel láthatólag meghatározott nagyságot képvisel.