Református gimnázium, Miskolc, 1903
- 14 szám eleget tesz egy algebrai egyenletnek, míg a transcendensek nem lehetnek algebrai egyenlet gyökei. Az algebrának is és a geometriának is van egy-egy igen nevezetes száma: az algebrában az „e" szám, a természetes logarithmusok alapszáma és a geometriában a már említett „tt" szám, s ezek olyanok, melyek nem képezik algebrai egyenlet gyökét, vagyis a definició szerint transcendensek. Transcendens voltukat hosszas fáradozás után úgy mutatták ki, hogy feltételezték, hogy első állításunkkal ellenkezőleg eleget tesznek valamely n-ed fokú algebrai egyenletnek. Ez a feltevés a 7C számra nézve végső következtetésében ahhoz a lehetetlenséghez vezet, hogy a törzsszámok sora véges. A x szám transzcendensségének kimutatása mintegy kétezer évig kisértő lidércfényt oltott el, nevezetesen végképen megdöntötte a kör kvadraturájának lehetőségét. A bizonyításnak harmadik módszere az állításnak matematikai alakban való tényleges előállítása. Ha u. i. azt állítjuk, hogy az F , alakú közönséges törtek, ahol F, a és ß tetszésszerinti pozitív egész számok, s az a és ß közül az egyik zérus értéket is felvehet, (mindkettő egyszerre nem lehet zérus, mert ez esetben a törtalakú kifejezés az F-el egyenlő egész szám) véges számú tizedes jegyben kifejezhető, véges tizedes törtekké átalakíthatók, akkor ennek az állításnak az igazságáról egészen algebrai általánosságban úgy győződünk meg, hogy a felvett alakú közönséges törttel egyenlő értékű véges tizedes törtet tényleg előállítjuk. Ezt a példát, miként látni, a középiskola hatodik osztályának matematikai tananyagából választottuk s a nevezett előállítás úgy történik, hogy a jelzett törtet a számlálónak és nevezőnek 2^. 5" egész számmal való szorzásával azonosan átalakítjuk. E szerint: .. 2^. 5". F G __ G 2«. öß 2"+ T. 5« +T~ ~ (2.5) a + ß ~~ 10«+/? ?' . s ez az utolsó kifejezés, ahol G pozitív egész szám, az említett előállítás tényleges alakja, mert a tizedes törtek definíciója épen az, hogy nevezőjük a tíznek valamely pozitív egész kitevőjű hatványa Ennek a tételnek folytatásaképen azt a második tételt, hogy t. i. csakis a fentjelzett tulajdonsággal bíró közönséges törtek alakíthatók át véges tizedes törtekké, a többiek pedig nem, a ..Dedukció ad abszurdum" módszerével igazoljuk. F Az \ y i ^ alakú közönséges törteknek véges alakú tizedes törtekké való átalakíthatóságára nézve szükséges, hogy az efajta közönséges törtek ilyen alakkal bírjanak; de egyszersmind elegendő is, mert semmiféle lényegesen új eszközre nincs szükségünk, hogy az előállítást, valóban végrehajthassuk Ezt a körülményt röviden úgy fogalmazzuk, hogy valamely közönséges törtnek véges tizedes törtté való átalakítására szükséges és elegendő feltétel az, hogy az illető törtnek alakja legyen. A feltételnek, vagy feltételeknek, melyek valamely matematikai tételt igazolnak, vagy kifejtenek, helyes kritériuma az, hogy ezek a
