Református gimnázium, Miskolc, 1903

-ISfeltételek szükségesek és elegendők legyenek. Ezek a feltételek, melyek a megállapított tételnek mintegy alsó és felső határát képezik, a felsőbb mennyiségtan mezején is együtt járnak és a felsőbb mennyiségtan igen fontos célját képezi azon meghatározó feltételek számának pontos megállapítása, melyek valamely állítás helyességének kimutatására szükségesek és elegendők. Arra nézve, hogy a síkháromszöget egyértelműen lehessen megszerkeszteni, szükséges, hogy a háromszög két egymástól független alkotó része meglegyen adva; de semmiképen sem elegendő, mert e feltételekkel végtelen sok háromszöget állíthatunk elő, melyek az adott alkotó részeket közösen tartalmazzák, de egymástól mégis különböznek. Négy adat elegendő, de nem szükséges; hanem arra nézve, hogy a háromszög teljesen meg legyen határozva, szükséges és elegendő feltétel az, hogy három, egymástól i'ügggetlen alkotórészét adjuk meg, ahol az egymástól való tiiggetlenség természetesen úgy értelmezendő, hogy egyik alkotórész nagysága a más k, tőle függetlennek mondott alkotórész nagyságára semmiféle befolyással ne bírjon. A negyedik bizonyítási módszer : az indukció módszere. Az indukció, mint funkció, abban áll, hogy néhány, tapasztalatilag belátható törvényszerűségből általánosabb törvényszerűségre következtetünk. Ilyen indukció hozta létre a fizika terén az égitestek egyetemes gravitacionális törvényszerűségének megállapítását. A matematikától különböző, más tudományokban azonban az indukció, mint bizonyítási módszer semmiképen sem bír a bizonyságtétel abszolút erejével, ámbár igen hasznos szolgálatot tesz az egyes tudományoknak. Pl. abban az esetben, hogyha valaki észreveszi, hogy valamely orvosság öt, vagy hat, . . . vagy ÍOU esetben a fejfájást feltétlenül gyógyítja, könnyen vonhatja azt a következtetést, hogy a nevezett orvosság minden esetben megszünteti a fejfájást; azonban az ilynemű következtetésen alapuló általánosítás egyáltalában nincs az abszolút igazság magaslatán, mivel véletlenül megtörténhetik, hogy már épen a legközelebbi, 101 ik eset az egész következtetést meghiusítja. A matematika alább körvonalozott indukciója feltétlenül biztos igazsághoz vezet, amely sohasem szenved hajó' törést. A bizonyítási módszernek ezt a faját teljes indukciónak nevezik. A néhány, tapasztalatilag igaznak bizonyult törvényszerűség itt is szerepel, sőt épen szintén kiinduló pontul szolgál. Ha valami öt esetben igaz, akkor feltételezzük, hogy n esetben is igaz; ezt a feltevést jogosan tehetjük mert az n = 5 is lehet, amikor az állítás helyessége evidens. Abból a feltevésből azután, hogy állításunk n esetben igaz, egy lépéssel áttérünk az n 1-ik esetre és lia a feltevés alapján tételünket ebben az esetben is igaznak tudjuk bizonyítani, akkor a tétel egyetemes érvényessége igazolva van. Hogy a teljes indukció módszerét egyszerű alkalmazásban bemutathassuk, a következő példára hivatkozunk: Az elemi algebra egyszerű következtetéssel kimutatja, hogy a kamatok kamatjával egy év alatt felszaporodott tőkét úgy kapjuk meg, hogy az eredeti tőkét megszorozzuk a kamattényezővel. Egymásután alkalmazott néhány következtetés alapján azt a törvényszerűséget észlelhetjük, hogy pl. az ötödik év végén a kamatok kamatjával felnövekedett tőkét úgy nyerjük, hogy az eredeti tőkét