A Magyar Hidrológiai Társaság XXXI. Országos Vándorgyűlése (Gödöllő, 2013. július 3-5.)

10. szekció. SZÁMÍTÓGÉPES MODELLEK ALKALMAZÁSA A VÍZGAZDÁLKODÁSBAN - 1. Albert Kornél (KDVVIZIG): Gázlók és hajóút szűkületek mederfelmérése a Duna magyarországi szakaszán - 2. Barla Roland: Ráckevei (Soroksári) Duna-ág adott szegmensének vízminőségi modellezése - mintaprojekt - 3. Jakab Jenő (Országos Vízügyi Főigazgatóság): Idősorok zajszűrése gyors Fourier-transzformációval

1. Bevezető

A vízmémöki gyakorlatban a modem, digitális adatrögzítő mérőeszközök elterjedésével lehetőségünk van pontosabb, átfogóbb elemzések készítésére az időelőnyök növelése mellett. Ugyanakkor fel kell készülni - a kétségbevonhatatlan előnyök ellenére - az új megoldásokban rejlő hibák, hibaforrások szakszerű kezelésére is. Ennek az összefoglalónak éppen ez a célja: egy lehetséges megoldást szeretnénk szélesebb körben kipróbálni és ajánlani az adatregisztrálók hibájának mérséklésre, szűrésére. Ehhez jó eszköz a Fourier - analízis, pontosabban a Fourier - transzformáció, amely a villamosmérnöki - hírközlési, informatikai gyakorlatban elterjedt, rutinszerűen alkalmazott. Konkrét jó példája lehet a Fourier - transzformáció széles körű alkalmazásának a JPEG formátumra kódolt képek, MP3 formátumú zenék, tömörítők, vagy a Photoshop képszerkesztő több fúnkciója is.

2. Matematika alapok

Ebben a vázlatpontban szeretném bemutatni a kollégáknak a későbbi alkalmazáshoz szükséges elméleti alapokat. A fejezet megírásában nagyrészt a „Matematika A2" egyetemi segédanyagra (BME, Sándor Csaba) támaszkodtam.

2.1. Alapfeltevések, definíciók

Első lépésben vizsgáljuk meg a klasszikus, 2n szerint periodikus függvényeket. Ezekről a periodikus függvényekről feltesszük, hogy előállíthatók elemi 2n szerint periodikus függvények összegeként. Ilyen elemi függvények a szinusz és koszinusz szögfüggvények.

Tehát a fenti állításunk (bizonyítás nélkül) a matematika nyelvén így néz ki:

Ti-» OO

fix) = y (ak ■ cos(k ■ x) + bk ■ sin{k ■ x)),

k e Z

(!■)

k=o

ahol:- ak, bk amplitúdók (függőleges y tengely szerint nyújtja - zsugorítja, transzformálja az elemi függvényt).- k körfrekvencia, amely ebben az esetben egyenlő a frekvenciával, (vízszintes x tengely szerint transzformálja a függvényt). Esetünkben a „U’-nak egész számnak kell lenni, mert ha nem lenne egész, akkor már nem lenne 2n szerint periodikus. Tehát így belőle nem állítható elő pontosan akármelyik 2n szerint periodikus f(x) függvény sem. k=0 esetben a sin(0x)=0, ezért az a0 tagot kiemelve általában k= 1-től szokás felírni az összegképlet alakot.

Jogosan felmerülhet (1.) alapján, hogy miért két fajta és miért ezt a két fajta elemi szögfüggvényt használjuk f(x) közelítésére. Bizonyítás nélkül fogadjuk el ebben az esetben, hogy a két elemi függvény független egymástól (geometriailag ez azt jelenti, hogy merőlegesek egymásra 1. ábra, vagy másként értelmezve a függetlenséget, skaláris szorzatuk 0) és a kettejük lineáris kombinációja a polinomokhoz hasonló univerzális összegző képességekkel (univerzális approximátor) rendelkezik. Érdekesség még, hogy a szinusz és koszinusz páratlan, illetve páros függvény (páratlan: sin(-x)=-3