Hidrológiai Közlöny, 2022 (102. évfolyam)
2022 / 2. szám
Fekete Árpád: A villámárvíz valószínűségének becslése kétváltozós Markov-lánccal 47 NAPI CSAPADÉKÖSSZEG (MM) iii°: | o o | o ° I rs r* ° o °‘ ■ ■ o o o o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.11.12.13.14. IS. 16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31. 1 A CSAPADÉKADATOK 2 KATEGÓRIÁJA 1. 2 3. 4 5 6 7 8 9 10.11 12.13.14 15.16 17 18 19.20.21 22.23.24 25.26.27.28.29.30.31 1 7. ábra. A napi csapadékösszegek alakulása Pécsen és kategorizálásuk, 2018. 03. 01.-04. 01. (OMSZ adatbázis 2021) Figure 7. Daily precipitation sums at Pécs and its categorization, 03. 01.-04. 01. 2018 (OMSZ database 2021) SZÁMÍTÁSOK A KÉTVÁLTOZÓS MARKOVLÁNCCAL Először a 2013-as évre végezzük a számításokat. A 4. és az 5. ábra kategorizálását figyelembe véve kiszámítjuk a P{Xt = j\Xt_! = i, Y[_1 = száraz} és a P{Xt = j\Xt-i = i'Yt-i — nedves] átmenet-valószínűségeket, ahol i, j=l, 2, 3, 4. A száraz a napi 3 mm-nél kevesebb, a nedves a napi 3 mm-nél több csapadékot jelenti. (A korábbi jelölések alapján 1-essel és 2-essel is lehet ezeket nevezni.) Két 4x4-es átmenet-valószínűségi mátrixot kapunk, egyet a száraz és egyet a nedves feltétel esetén: (\ \ 0 °\ /; 0 \ °\ 0 0- 0 - 0 P (száraz) = 5 5 1 és P (nedves) = 2 2 2 2 0 ; < 0 0 4 4 V° 0 1 \j \0 0 i 1/ ' 2 2' A számlálók az átmenet-gyakoriságokat mutatják, míg a nevezőkben az adott sor átmenet-gyakoriság összegei szerepelnek. Az érthetőség érdekében példaként értelmezzük a mátrixok első sorának elemeit. P(száraz) esetén a csapadék 1-es kategóriáját vesszük feltételként és összeszámláljuk, hogy a vízhozam ekkor hány alkalommal megy át 1-esből az 1-es kategóriába, ez a szám 5. Az 1- esből a 2-es kategóriába egy alkalommal, míg 1 -esből a 3- asba 0 és 1-esből a 4-esbe szintén 0 alkalommal megy át. P(nedves) esetén a csapadék 2-es kategóriáját vesszük feltételként és összeszámláljuk, hogy a vízhozam ekkor hány alkalommal megy át 1 -esből az 1 -es kategóriába, ez a szám 2. Az 1-esből a 2-es kategóriába 0 alkalommal, míg 1- esből a 3-asba 2 és 1-esből a 4-esbe 0 alkalommal megy át. A mátrixok többi elemét hasonló számítások után kapjuk. Összehasonlítva a két mátrixot alapvető törvényszerűségeket vonhatunk le belőlük. A P(száraz) esetén a főátló feletti elemek egy kivételével, míg a P(nedves) esetén a főátló alatti elemek szintén egy kivételével zérusok. Nyílván száraz nap után nem ugrik kategóriákat felfelé, míg nedves nap után nem ugrik kategóriákat lefelé a vízhozam. A fenti mátrixok hosszú távú viselkedését vizsgálva a korábban ismertetett módon kiszámítjuk az invariáns eloszlásukat. A számításokhoz az EXCEL-t használtuk és a 16. hatványnál már megkaptuk az invariáns eloszlást, azaz P* (száraz) = (0,7; 0,3; 0; 0) és P* (nedves) = (0; 0; 0,5; 0,5). A P(száraz) esetén tehát hosszú távon 0,7 a valószínűsége, hogy a vízhozam az 1 -es, 0,3 a valószínűsége, hogy a 2-es és 0 a valószínűsége, hogy a 3-as és a 4-es kategóriába essen. Nyilván villámárvizek szempontjából nekünk a P(nedves) mátrix hosszútávú viselkedése érdekes, ami azt mutatja, hogy a vízhozamok azonos 0,5 valószínűséggel esnek a 3-as és a 4-es kategóriába. Megállapítható, hogy a rendszer
