Hidrológiai Közlöny, 2020 (100. évfolyam)

2020 / 4. szám

74

Hidrológiai Közlöny 2020. 100. évf. 4. sz.

A folytonossági egyenlet felhasználásával levezethető:

1 Q’x wh = —T n Bh'

(2)

Felhasználva a Q„p=\(h) függvény deriváltját, kapjuk

wh =

1 4Qnp

(3)

A (2) egyenletből, feltételezve az egyszerűsített folytonossági egyenlet érvényességét, Qnp * Qpr = A v = B h v(h) deriválásával egy újabb összefüggést kapunk

Wh = v + hM' (4)

majd a sebességre a középsebesség Chézy összefüggésének Manning-Strickler- féle közelítését alkalmazva, (vk = k h2ß Sl/2), és csak a h-1 tekintve független változónak, így deriválva kapjuk az ismert

wh~^vk (5)

közelítő kapcsolatot a h vízmélységhez tartozó levonulási sebességre.

Az árhullám tetőpontjának haladási sebességénél meg kell különböztetni két féle értelmezést. Vizsgálhatjuk az árhullám felszínét leíró h=h(x,t) felület kiválasztott jc, helyei dh/dt = 0-nál lévő maximális vízmélységeit. A különböző Xi helyek e pontjait összekötő görbe dx/dt érintője adja a helyi tetőzésekhez tartozó levonulási sebességet

d2h

wht = jrfr (6)

dxdt

Gyakorlatiasabb megfogalmazásban, ez a h =fit) árhullámkép legmagasabb hmax pontjának levonulási sebessége. A folytonossági egyenlet felhasználásával ez a

Bh' 2

Wht = - (7)

Qx2

alakra rendezhető. Tehát „A Wht sebesség annak a távolságnak a mértéke, mely két olyan helyet választ el, ahol a maximális vízállások időegységnyi különbséggel keletkeznek” (Kozák 1958).

Az árhullám tetőpont haladási sebességének egy másik értelmezése a pillanatnyi hossz-szelvényen lévő hmax levonulási sebességére, Whx-re vonatkozik. Ezt analitikusan meghatározó összefüggések formailag hasonlók a (6) és (7)-ben adottakhoz. A Wh, és Whx sebességek számértékben nem sokban különböznek egymástól, a gyakorlatban Wh, szokták hullámsebességnek nevezni, (talán az árhullámképen a könnyebb értelmezhetősége miatt.) Ha további feltételezéseket is megengednek, akkor a hullám tetőpontjának sebességére Kleitz (in Kozák 1958) jó közelítésnek tartja a

1 4<?pr 5 /0,

w^xb^T wnx^~vk (8)

(3) és (5)-höz hasonló összefüggéseket.

Nem meglepő, a - fenti feltételezések mellett - levezetett „pontos” összefüggéseket a gyakorlatban nem alkalmazzák. A parciális differenciálhányadosok számítása azoknak a függvényeknek (akár diszkrét értékeinek) az ismeretét tételezi fel, melyek legtöbbször ismeretlenek, éppen ezek számításához kívánjuk meghatározni a sebességeket. Nem beszélve a differenciálhányadosok diszkrét értékekből való számításának, a differenciahányadosok képzésének nehézségéről és pontatlanságáról. Az egyszerű (4), (5) és (8) összefüggések pedig olyan feltételezések, közelítések mellett születtek, melyek elfogadhatatlan hibát eredményeznek. Ennek bizonyítására alkalmazhatjuk az adott értékű vízmélységhez tartozó levonulási sebesség (4) és (5) összefüggéseit az 1. ábra szerkesztéséhez felvett geometriájú medernél, hiszen a hulláméi mindig a kezdeti h0 vízmélységgel vonul le:

dv> (2 .— _1/3\

wh=v + h0—=v + h0 (j/cStrVsofy) J

= 0,28 + 1 * ^40^0,00005 * 1~1/3) = 0,469TM km

= 1,69 — n

és természetesen wh = 5/3 v* = 5/3 0,28 = 0,467 m/s = 1,68 km/h.

Az I. ábránál az azonos irányú alap-karakterisztika hajlása (w=Ax/At=v+ (hg),/2) 12,28 km/h, míg a részletes 1D nempermanens számítás alapján meghatározott hulláméi sebesség 3,96 km/h. Látható, hogy a fent röviden idézett elméleti összefüggések alá becsülik, a karakterisztika vonal pedig nagyon felül becsüli az 1D nempermanens számítás alapján ,jó”-nak mondható értéket.

Az ismertetett definíció szerint az adott értékű vízmélységhez tartozó levonulási sebességet nem csak a hullámélre, hanem - az ellapulástól eltekintve - a hmax-ra is lehetne értelmezi. Az (1) egyenlet dh/dx = 0 esetén wt,ra végtelent ad, ami fizikailag lehetetlen. Pontosítani kell az ott írottakat: az (l)-(3) összefüggések a tetőpont és annak környezetében nem érvényesek. És bár a (4) és (5) öszszefüggésekből számszerű értéket kaphatunk a levonulási sebességre, de mivel ezeket - a tetőpontkömyékén érvénytelen - (l)-ből származtattuk ezért is pontatlanok az így számított értékek.

Egy korábban megjelent tanulmányunk (Rátky 2000) kiegészítéseként, megadtuk egy teszt példa eredménye alapján, a számított helyi tetőzések levonulási sebességének alakulását. Szorosan mostani témánkhoz tartozó megállapítása miatt - a részletek mellőzésével - megismételjük az ott bemutatott összefoglaló ábrát. Az 5. ábra a honlapomon, a hurokgörbével foglalkozó tanulmány kiegészítésében jelent meg, („Hurokgörbével kapcsolatos megjegyzéseim. Miért nem lehet egyszerű analitikus összefüggéssel hullámlevonulási sebességet számítani?” címen, https://iratky.wixsite.com/ratky). Az árhullám h(t), Q„P(t), Qpr(t), v(t), h x(t) és h ,(t) jelleggörbéi mellett a számított vtető(t) levonulási sebességeket is ábrázoltuk. A 2000. évben még színes vonalak alkalmazása nélkül nehezen áttekinthető ábrát csak azért adtuk meg színesen, hogy a jelleggörbék szélső értékeinek egymáshoz viszonyított helyzetét mutassuk be. E miatt születtek a koordináta tengely szokatlan léptéke is. (Meg kell jegyezni, hogy e színes vonalakkal készített ábra értelmezése sem könnyű, de - azt, amit ki akartunk hangsúlyozni -, a szélső értékek egymáshoz viszonyított helyzetét, azt jól mutatja.) A levonulási sebességet három féle módon közelítettük: w,x-e 1 (kék-